Kräftegleichgewicht

Bei der Betrachtung von Kräften hatten wir schon festgestellt, dass ein Körper immer dann seinen Bewegungszustand verändert \( - \) also seine Geschwindigkeit zu- oder abnimmt \( - \), wenn Kräfte auf ihn wirken ... es sei denn, er befindet sich in Ruhe und die Resultierende aller am Körper angreifenden Kräfte verschwindet.

Genau das ist auf Kräfte bezogen die Gleichgewichtsbedingung für einen Körper, der in Ruhe ist und auch in Ruhe bleiben soll: Alle Kraftvektoren, die an einem Körper angreifen, müssen aufsummiert den Nullvektor ergeben. Das ist das Kräftegleichgewicht.

Kräftegleichgewicht in Vektorschreibweise: 

\( \sum_{i} \vec{F}_i =\vec{0} \)

Kräftegleichgewicht in Komponentenschreibweise

\( \sum_{i} F_{zi}=0 \)

Wie sehen die beiden Schreibweisen ganz konkret für ein System aus?

Schauen wir uns als Beispiel das folgende System und das zugehörige Freikörperbild an: Es besteht aus einer L-förmigen Struktur, die durch die beiden Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) belastet wird und mit einem Fest- und einem Loslager gelagert ist.

In Vektorschreibweise sieht das Kräftegleichgewicht so aus:

\(\vec{0} = \vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}_1 +\vec{F}_2 \)

\( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} F_{Ax} \\F_{Ay} \\ 0  \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 \\ F_B \\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -F \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ -2F \\ 0 \end{pmatrix}\)

In Komponentenschreibweise würdest du das Kräftegleichgewicht so aufschreiben:

\( \sum F_{x}=0 = F_{Ax} -F \)
\( \sum F_{y}=0 =F_{Ay}+F_B-2F\)
\( \sum F_{z}=0: \text{Keine Kräfte in z-Richtung vorhanden} \)

Statt  \( \sum ... =0 \)  zu schreiben, gibt es auch noch eine andere Schreibweise, bei der mit Pfeilen die Richtung angegeben wird, in der man die Kraftkomponenten aufsummiert. Das sieht für unser Beispiel dann so aus:

\( \rightarrow \quad:  \qquad 0 = F_{Ax} -F \)
\( \uparrow\quad: \qquad 0 =F_{Ay}+F_B-2F\)

Manche Professoren kombinieren auch beide Schreibweisen, was ich persönlich doppeltgemoppelt finde. Das sieht dann so aus:

\( \rightarrow \sum F_{x}=0 = F_{Ax} -F \)
\( \uparrow \sum F_{y}=0 =F_{Ay}+F_B-2F\)