Vektorrechnung
3. Rechenoperationen
3.6. Skalarprodukt
Skalarprodukt für Vektoren
Für Vektoren sind zwei Arten von Produkten definiert: das Vektorprodukt, das auch Kreuzprodukt genannt wird, und das Skalarprodukt.
Anders als beim Vektorprodukt ist das Ergebnis des Skalarproduktes ein Skalar, also eine Zahl.
Diese Zahl berechnet sich nach folgender Vorschrift:
$${\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3}$$
Werden zwei Vektoren skalar miteinander malgenommen, so errechnet sich das Ergebnis also als Summe der Produkte der Komponenten.
Zahlenbeispiel
$$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}=(-2) \cdot (-4) + 1 \cdot 6 + 3 \cdot 2 =20$$
Die Reihenfolge der Vektoren kann beim Skalarprodukt vertauscht werden: Es gilt das Kommutativgesetz
$${\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}}$$
Definiert ist das Skalarprodukt mithilfe des Winkels, den die beiden Vektoren, die miteinander multipliziert werden, einschließen. Dabei wird der Winkel mathematisch positiv, also gegen den Uhrzeigersinn, vom ersten zum zweiten Vektor abgetragen.
Zwischen zwei Vektoren eingeschlossener Winkel
Weitere Informationen
Johanna Peters - Mechanik hautnah | TU Hamburg
CC BY 4.0
https://learn.hoou.de/pluginfile.php/13788/mod_book/chapter/2152/Zwischen_zwei_Vektoren_eingeschlossener_Winkel.png
$$\vec{a} \cdot \vec{b} := ab\cdot \cos(\varphi)$$
\(a\) und \(b\) sind hierbei die Beträge, also die Längen der beiden Vektoren.
Soll der Winkel zwischen zwei gegebenen Vektoren bestimmt werden, so ist dies nach Umstellen dieser Beziehung leicht möglich:
$$\cos(\varphi)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ab}$$
Auch lässt sich leicht prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, also orthogonal sind. Der eingeschlossene Winkel zweier senkrecht aufeinanderstehender Vektoren ist \(\varphi = 90°\). Und da \(\cos(\varphi = 90°) =0\) gilt, ist auch das Skalarprodukt in diesem Fall Null.
$${\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \qquad \leftrightarrow \qquad \vec{a} \perp \vec{b}}$$
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren den Wert Null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.
Zusammenfassung - Das Wichtigste in Kürze
Skalarprodukt
Das Ergebnis des Skalarproduktes zweier Vektoren ist eine Zahl. Diese Zahl wird nach der folgenden Rechenvorschrift berechnet:
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$$
Werden zwei Vektoren skalar miteinander malgenommen, so errechnet sich das Ergebnis also als Summe der Produkte der Komponenten.
Das Kommutativgesetz gilt für das Skalarprodukt, d.h. die Reihenfolge der Vektoren kann vertauscht werden:
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$$
Alternativ lässt sich das Ergebnis auch über die Beträge der beiden Vektoren und den eingeschlossenen Winkel bestimmen
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cdot \cos(\varphi)$$
Für den Winkel zwischen zwei gegebenenVektoren gilt also:
$$\cos(\varphi)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ab}$$
Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, sind also orthogonal zueinander, ist das Skalarprodukt null
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \qquad \leftrightarrow \qquad \vec{a} \perp \vec{b}$$
