Vektorrechnung

Definition und Darstellung eines Vektors

Im realen Leben gibt es viele Größen – z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Moment, Impuls, Drall – die nur vollständig charakterisiert werden können, wenn man den Betrag und die Richtung, in die die jeweilige Größe wirkt, kennt.  Man nennt diese Größen daher auch gerichtete Größen. Und um genau solche Größen mathematisch beschreiben zu können, werden Vektoren verwendet. Vektoren haben eine Länge, allgemeiner sagt man auch einen Betrag, und sie geben die Richtung der Größe an, die sie beschreiben. Und es spielt eine Rolle, wo die entsprechende Größe wirkt. Informationen über die Lage oder den Angriffspunkt der Größe braucht es also auch noch.

Für die graphische Darstellung eines Vektors wird ein Pfeil verwendet. Das ist im Straßenverkehr nicht anders. Der Pfeil gibt die Richtung an.

In der Mathematik steht neben dem Pfeil der Betrag/die Länge des Vektors. Das kann eine Zahl oder eine Variable sein. Im Fall einer Kiste mit einer Masse von \(m_1=10\mathrm{kg}\) , also einer Gewichtskraft von etwa  \( G_1 = m_1 \cdot g= 100\mathrm{N} \) , sieht das dann so aus. Eine doppelt so schwere Kiste ist in der Abbildung ebenfalls dargestellt.

Verschiedene Darstellungsvarianten für den Betrag eines Vektors: maßstäbliche Pfeillänge

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Werden Vektoren maßstäblich gezeichnet, entspricht die Länge des Pfeils dem Betrag des Vektors. Ein doppelt so langer Pfeil bedeutet dann also, dass die Gewichtskraft des zweiten Objektes doppelt so groß ist. In dieser Darstellungsvariante enthält der Pfeil also die Richtungs – und die Betragsinformation, so lange der Maßstab bekannt ist. Die Angabe des Betrags als "Zahl daneben" ist dann theoretisch doppeltgemoppelt, dient aber in jedem Fall der Übersicht.

Oft werden aber alle Pfeile gleich lang dargestellt.

In diesem Fall wird durch die Richtung des Pfeils die Richtung der physikalischen Größe angegeben. Die Information zum Betrag ergibt sich einzig und allein aus der Zahl oder der Variablen, die neben dem Pfeil steht.

An dieser Stelle vielleicht ein paar Worte zum Thema Variablen: Werden wie in der Mechanik physikalische Zusammenhänge betrachtet, ist es hilfreich und sinnvoll, die beschreibenden Gleichungen erst einmal mit Variablen aufzustellen. Dies setzt voraus, dass z.B. für die Beträge von Vektoren, aber eben auch für Abstände, zunächst Variablen verwendet werden und nicht gleich Zahlenwerte. Die Zahlenwerte werden erst ganz am Ende eingesetzt. Was ist der Vorteil dieser Vorgehensweise? Der größte Vorteil ist, dass man allgemeingültige Gleichungen für ein System erhält. Man kann also für ein und dasselbe System sehr einfach verschiedene Varianten durchrechnen. Nehmen wir einmal das Beispiel einer Brücke. Aus Ingenieurssicht interessiert z.B. die Beanspruchung der Brückenpfeiler, wenn nicht so viel Verkehr herrscht. Genauso interessant ist aber auch die Belastung zur Rush Hour, wenn fünf Mal so viel Verkehr fließt, also deutlich mehr Gewicht auf den Pfeilern lastet. Stehen die Gleichungen in Form von Variablen zur Verfügung, können unterschiedliche Zahlenwerte für die Belastung einfach eingesetzt und die daraus resultierenden Beanspruchungen der Pfeiler für unterschiedliche Lastszenarien ausgerechnet werden. Genauso einfach könnte überprüft werden, wie es sich auf die Beanspruchung der Pfeiler auswirkt, wenn die Länge der Brücke z.B. um 20% erhöht wird.

Für die mathematische Darstellung von Vektoren werden verschiedene Schreibweisen verwendet. Je nach Quelle werden Vektoren fett, mit Unterstrich oder mit einem Pfeil darüber dargestellt. Diese drei Darstellungen beschreiben also ein und denselben Vektor:

$$\mathbf{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\hspace{3cm} \underline{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\hspace{3cm} \vec{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

Auch bei der Wahl der Klammerart gibt es verschiedene Schreibweisen: es werden sowohl runde als auch eckige Klammern verwendet. Um Vektoren auch in einer Zeile schreiben zu können, wird das sogenannte transponiert-Zeichen verwendet.

$$
\underline{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad \leftrightarrow \qquad \underline{r}=[1\quad 0\quad -1]^T
$$

Zwei Vektoren sind immer dann identisch, wenn sie dieselbe Richtung und denselben Betrag haben, also gleich lang sind. Alle in der folgenden Abbildung gezeigten Vektoren sind daher identisch: $$\vec{a}\ =\ \vec{b}\ =\ \vec{c}\ =\ \vec{d}$$

Betrag eines Vektors

Der Betrag wird auch die Länge eines Vektors genannt und wird mit \(a=\left|\vec{a}\right|\) bezeichnet. Der Betrag eines Vektors \(a\) lässt sich über verschiedene "Denkweisen" bestimmen.

Denkweise 1: geometrische Betrachtung = Satz des Pythagoras

Aus einer geometrischen Betrachtung heraus ergibt sich der Betrag \(a\) über den Satz des Pythagoras direkt zu

Vektorlänge und Pythagoras

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Denkweise 2: Skalarprodukt von Vektoren

 

"Denkt" man über das Skalarprodukt, ist der Zugang folgendermaßen:
Wird ein Vektor skalar mit sich selber malgenommen, ist der eingeschlossene Winkel 0°, so dass mit \(\cos(0°)=1\) gilt $$\vec{a} \cdot \vec{a} = a \cdot a \cdot \cos(0°)=a^2$$

 

Der Betrag \(a\) des Vektors lässt sich also auch als Wurzel des Skalarproduktes schreiben $${\left|\vec{a}\right|=a=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}}$$.

Zum Abschluss wollen wir uns noch ein Zahlenbeispiel anschauen, bevor du dann selber üben kannst:

$$\vec{r}=\begin{pmatrix} 3b \\ 4b \\ 5b \end{pmatrix}$$

 

$$\mathrm{Pythagoras} \quad \left|\vec{r}\right|=r=\sqrt{(3b)^2+(4b)^2+(5b)^2}=\sqrt{9b^2+16b^2+25b^2}=\sqrt{2 \cdot 25b^2}=5\sqrt{2}b$$

 

$$\mathrm{Skalarprodukt} \quad \left|\vec{r}\right|=r=\sqrt{\begin{pmatrix} 3b \\ 4b \\ 5 b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3b \\ 4b \\5 b \end{pmatrix}}=\sqrt{9b^2+16b^2+25b^2}=\sqrt{2 \cdot 25b^2}=5\sqrt{2}b$$

Zusammenfassung - Das Wichtigste in Kürze

Betrag eines Vektors

Der Betrag eines Vektors gibt die Länge des Vektors an. Er kann mittels des  des Satzes von Pythagoras oder mittels des Skalarproduktes berechnet werden:

$$\mathrm{Mit\ Satz\ des\ Pythagoras:}\quad\left|\vec{a}\right|=a=\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}$$

 

$$\mathrm{Mit\ Skalarprodukt:}\quad\left|\vec{a}\right|=a=\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$$

 

Arbeitsblatt - Teste dein Wissen

Berechne den Betrag eines Vektors

 

Test - Jetzt bist du dran

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Berechne den Betrag verschiedener Vektoren

Richtung und normierte Vektoren

Wenn du dich für die Richtung eines Vektors interessierst, dann kann es hilfreich sein, wenn du den Einheitsvektor für die durch den Vektor gegebene Richtung kennst. Wenn du diesen normierten Vektors hast, kannst du ihn durch Malnehmen mit einer Zahl beliebig lang machen.

Wenn du den zu einem gegebenen Vektor gehörenden Einheitsvektor bestimmst, dann nennt man diesen Vorgang Normieren.

Wenn ein Vektor normiert wird, dann bedeutet das, dass man ihn so umformt, dass er die Länge \( 1\) hat. Normierte Vektoren werden daher auch als Einsvektoren oder Einheitsvektoren bezeichnet. Bei den Vektoren
$$\vec{e}_x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad\vec{e}_y=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\qquad\vec{e}_z=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$
ist offensichtlich, dass es sich um Einheitsvektoren handelt.

Es ist aber möglich, jeden beliebigen Vektor auf die Länge \( 1\) zu bringen. Schauen wir uns das an einem Beispiel an.

Der Vektor \(\vec{r}\) hat die Länge \(\sqrt{14}\). Teilen wir den Vektor durch diese Länge, hat er wie gewünscht die Länge \(1\). Normierte Vektoren werden dabei oft auch mit einem "Dach" gekennzeichnet: \(\vec{\hat{r}}\).

Die allgemeine Rechnenvorschrift zur Normierung eines Vektors \(\vec{r}\) lautet also:
$${\vec{\hat{r}}=\frac{1}{\left| \vec{r} \right|}\vec{r}}$$

Ein normierter Vektor hat die Länge \(1\) und zeigt in die Richtung des ursprünglichen Vektors.

Ein normierter Vektor ist immer einheitenlos, da durch den Betrag des Vektors geteilt wird. Und da der Betrag dieselbe Einheit hat, wie die einzelnen Komponenten, kürzen sich die Einheiten weg.

In der Mechanik kommen normierte Vektoren an verschiedenen Stellen zum Einsatz. Wird eine Struktur z.B. von einem Seil abgestützt, so kann die Richtung des Seils, nennen wir sie \(\vec{r}_{\mathrm{Seil}}\) aus der Geometrie berechnet werden. Wird dieser Vektor normiert, liegt ein Vektor mit Länge \(1\) in Richtung der Seilkraft vor: \(\vec{\hat{r}}_{\mathrm{Seil}}\) Die Seilkraft \(\vec{S}\) mit dem Betrag \(S\) lässt sich dann angeben als \(\vec{S}=S \cdot\vec{\hat{r}}_{\mathrm{Seil}}\).

Beispiel

Der Eckpfosten eines Gartenzaunes ist bei Punkt  \(A\)  fest im Boden verankert. Zusätzlich wird er durch ein Seil, dass die Punkte  \(B\)  und  \(C\)  verbindet, gehalten. Der Pfosten wird in Punkt  \(B\)  durch die Kräfte  \(\left| \vec{F}_1 \right| = F\)  und  \(\left| \vec{F}_2 \right| = F\)  belastet. Die Kraft im Seil ist  \(\vec{S}\) mit \(\left| \vec{S} \right| = S\).

Die Lage der Punkte  \(B\)  und  \(C\)  ist gegeben durch die Vektoren
$$\vec{r}_{AB}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2a \end{pmatrix} \quad \mathrm{und} \quad \vec{r}_{AC}=\begin{pmatrix} -a \\ -a \\ 0 \end{pmatrix}$$

Gesucht ist der Vektor der Seilkraft  \(\vec{S}\) .

$$\vec{S}=S\cdot \vec{\hat{r}}_{BC},$$
da der Betrag \(S\) der Seilkraft ja laut Aufgabenstellung bekannt ist.

Es muss also lediglich der normierte Vektor von  \(B\)  nach  \(C\)  bestimmt werden. Es gilt
$$\vec{r}_{BC}=\vec{r}_{AC}-\vec{r}_{AB}=\begin{pmatrix} -a \\ -a \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -a \\ -a \\ -2a \end{pmatrix}.$$

Die Länge dieses Vektors ergibt sich zu

$$\left| \vec{r}_{BC}\right|=\sqrt{(-a)^2+(-a)^2+(-2a)^2}=\sqrt{6}a.$$   Damit gilt für den normierten Vektor in Richtung von  \(B\)  nach  \(C\)

$$\vec{\hat{r}}_{BC}=\frac{1}{\sqrt{6}a}\cdot \begin{pmatrix} -a \\ -a \\ -2a \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}.$$

Und für den Vektor  \(\vec{S}\)  der Seilkraft folgt unter Berücksichtigung der oben bereits aufgestellten Beziehung

$$\vec{S}=S\cdot \vec{\hat{r}}_{BC} = \frac{S}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}.$$

Es ist immer hilfreich, einen Plausibilitätscheck durchzuführen. Die Komponenten des Ergebnisvektors haben die Einheit einer Kraft: Check. Alle Komponenten des Ergebnisvektors sind negativ. Da, wie im Freikörperbild ersichtlich ist, alle Komponenten - in Bezug auf das zugrundegelegte Koordinatensystem - in negative Achsrichtung zeigen, ist das Ergebnis auch in diesem Punkt plausibel: Check.

Das beschriebene Vorgehen lässt sich auch für Stabkräfte in Fachwerken anwenden. Dieser Fall wird in einem der Arbeitsblätter behandelt.

Arbeitsblatt - Trainiere deine Fähigkeiten

Berechne den normierten Vektor

Berechne die Stabkraft: Normieren in der Anwendung

Test - Prüfe dein Wissen

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Berechne verschiedene normierte Vektoren

Skalierung von Vektoren

Ein Vektor \( \vec{a} \) wird skaliert, indem er mit einer reellen Zahl \( m \) multipliziert wird. Multiplizieren mit einer Zahl wiederum bedeutet, jede einzelne Komponente mit der entsprechenden Zahl malzunehmen:

$${m \cdot \vec{a}=\begin{pmatrix} m \cdot a_1 \\ m \cdot a_2 \\ m \cdot a_3 \end{pmatrix}}$$

Der Ausgangsvektor wird um den Faktor \(3\) skaliert: Er behält seine Richtung, ändert aber seine Länge auf das Dreifache.

Was passiert für den Fall, dass \(m=(-1)\) gilt?  

Die Richtung des ursprünglichen Vektors wird durch das Malnehmen mit \((-1)\) also umgekehrt:

Umkehr der Richtung eines Vektors bei Multiplikation mit (-1)

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Dieser Aspekt spielt für das Verständnis der Subtraktion eine Rolle. Außerdem ist er auch beim Erstellen von Freikörperbildern und der Bestimmung von Reaktionskräften in der Mechanik von großer Bedeutung.

Zusammenfassung - Das Wichtigste in Kürze

Mahlnehmen mit einer reellen Zahl

$$m \cdot \vec{a}=\begin{pmatrix} m \cdot a_1 \\ m \cdot a_2 \\ m \cdot a_3 \end{pmatrix}$$

Der Ausgangsvektor wird um den Faktor \(m\) skaliert: Er behält seine Richtung, ändert aber seine Länge um den Faktor \(m\).

Insbesondere: Malnehmen mit \(m=(-1)\) bedeutet, dass sich die Richtung des Vektors umkehrt:

$$\vec{a}=\begin{pmatrix}  a_1 \\ a_2 \\  a_3 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad (-1) \cdot \vec{a}=\begin{pmatrix} - a_1 \\ - a_2 \\ - a_3 \end{pmatrix}$$

Umkehr der Richtung eines Vektors bei Multiplikation mit (-1)

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Arbeitsblatt - Teste dein Wissen

Nimm die Vektoren mit den gegebenen Faktoren mal

Addition von Vektoren

Wenn zwei Vektoren  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  addiert werden, ist das Ergebnis wieder ein Vektor. Dies sei  \(\vec{c}\) . Die Komponenten von  \(\vec{c}\)  ergeben sich, indem die Komponenten von  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  einzeln addiert werden.

$$\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \qquad\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad {\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix} =\vec{c}}$$

Anschaulich bedeutet dies Folgendes. Stell dir vor, du bist in der Stadt und befindest Dich am Punkt \(S\) und willst zu einem Sportgeschäft, dass sich beim Punkt \(E\) befindet. Du fragst jemanden nach dem Weg und bekommst folgende Antwort: "Lauf die Straße nach südsüdost bis sie einen Knick macht. Dann folge der Straße weiter in Richtung südsüdwest, bis du nach ca. 250m das Sportgeschäft erreichst."

Wenn du zufällig einen Mathematiker nach dem Weg gefragt hättest, hätte er dir gesagt: "Folge zuerst dem Vektor  \(\vec{a}\) . Anschließend folge dem Vektor  \(\vec{b}\) ". Beide Aussagen sind identisch. Denn wenn du vor dem Sportgeschäft bei Punkt \(E\) stehst und Dich fragst, "Wie weit bin ich denn nun eigentlich von meinem Startpunkt entfernt, dann ist die Antwort, "Genau die Länge des Vektors  \(\vec{c}\) ". Vektor  \(\vec{c}\)  entsteht, indem man die beiden Vektoren  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  hintereinandersetzt. Vektor  \(\vec{c}\)  ergibt sich dann als resultierender Vektor der beiden Einzelvektoren.

Noch ein Beispiel, diesmal mit Kräften. Stell dir vor, ein Auto hat sich im Sand oder im Matsch festgefahren. In Richtung der Hauptachse des Fahrzeugs muss die Kraft  \(F\)  aufgebracht werden, um das Fahrzeug wieder freizuschleppen. Jetzt, wo du schon einiges über Vektoren weißt, hast du verschiedene Möglichkeiten. Du kannst z.B. mit einer Seilwinde direkt die Kraft  \(F\)  in Richtung der Hauptachse aufbringen. Was aber machst du, wenn eine Seilwinde nicht die erforderliche Kraft  \(F\)  aufbringen kann? Du nimmst einfach zwei Seilwinden, die ihre Kräfte  \(F_1\)  und  \(F_2\)  platzbedingt natürlich nur unter einem gewissen Winkel aufbringen können. Solange die beiden Kräfte und Kraftrichtungen so eingestellt werden, dass sich als resultierende Kraft eine Kraft mit Betrag  \(F\)  entlang der Fahrzeughauptachse ergibt, bekommst du das festgefahrene Fahrzeug auch auf diese Art freigeschleppt. Jede der beiden Seilwinden muss dabei nur eine Kraft aufbringen, die deutlich geringer als die Gesamtkraft  \(F\)  ist.

Anwenden der Vektoraddition beim Freischleppen eines Fahrzeugs

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Wie sich aus den anschaulichen Beispielen aber auch aus den mathematischen Beziehungen sofort ergibt, ist die Addition zweier Vektoren vertauschbar. Es gilt also

$${\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}}$$

Für die Lateinfreaks: Das Kommutativgesetz gilt auch bei der Addition von Vektoren.

Zusammenfassung - Das Wichtigste in Kürze

Addition von Vektoren

Wenn zwei Vektoren  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  addiert werden, ist das Ergebnis wieder ein Vektor. Dies sei  \(\vec{c}\) . Die Komponenten von  \(\vec{c}\)  ergeben sich, indem die Komponenten von  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  einzeln addiert werden.

$$\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \qquad\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad \vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix} =\vec{c}$$

Bei der Addition von Vektoren ist die Reihenfolge vertauschbar, d.h. es gilt das Kommutativgesetz.

$$\vec{a} +  \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$$

Graphisch lässt sich die Addition als "Hintereinanderschaltung" der beiden Vektoren verstehen

Addition von Vektoren

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Addiere die Vektoren zeichnerisch und rechnerisch

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Addiere verschiedene Vektoren

Subtraktion von Vektoren

Die Subtraktion zweier Vektoren  \( \vec{d} \)  und  \( \vec{e} \)  wird analog zur Addition ausgeführt und liefert ebenfalls einen Vektor als Ergebnis. Dies sei \( \vec{f} \) $$ \vec{d}=\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} \qquad \vec{e}=\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad {\vec{d}-\vec{e}=\begin{pmatrix} d_1-e_1 \\ d_2-e_2 \\ d_3-e_3 \end{pmatrix} =\vec{f}} $$

Subtraktion von Vektoren

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Zusammenfassung - Das Wichtigste in Kürze

Subtraktion von Vektoren

Wenn zwei Vektoren  \(\vec{d}\)  und  \(\vec{e}\)  von einander abgezogen werden, ist das Ergebnis wieder ein Vektor. Dies sei  \(\vec{f}\) . Die Komponenten von  \(\vec{f}\)  ergeben sich, indem die Komponenten von \(\vec{d}\) und \(\vec{e}\) einzeln voneinander abgezogen werden.

$$\vec{d}=\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} \qquad\vec{e}=\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad {\vec{d}-\vec{e}=\begin{pmatrix} d_1-e_1 \\ d_2-e_2 \\ d_3-e_3 \end{pmatrix} =\vec{f}}$$

Bei der Subtraktion von Vektoren ist die Reihenfolge nicht vertauschbar, d.h. das Kommutativgesetz gilt nicht:

$$\vec{d} -  \vec{e} \neq  \vec{e} - \vec{d}$$

Graphisch lässt sich die Subtraktion ebenfalls als "Hintereinanderschaltung" der beiden Vektoren verstehen, wenn in einem Vorabschritt die Richtung des abzuziehenden Vektors umgedreht wird:

Subtraktion von Vektoren

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Subtrahiere verschiedene Vektoren

Vektorprodukt für Vektoren

Für Vektoren sind zwei Arten von Produkten definiert: das Vektorprodukt, das auch Kreuzprodukt genannt wird, und das Skalarprodukt.

Wie der Name schon klarstellt, ist das Ergebnis des Vektorproduktes wieder ein Vektor; das Ergebnis des Skalarproduktes ist hingegen kein Vektor, sondern ein Skalar, also eine Zahl.

Werden zwei Vektoren  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  mittels Kreuzprodukt miteinander verrechnet, ergibt sich wieder ein Vektor. Nennen wir ihn Vektor  \(\vec{c}\) . Vektor  \(\vec{c}\)  steht senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren.

Mit der Rechten-Hand-Regel lässt sich dabei leicht überprüfen, in welche Richtung  \(\vec{c}\)  zeigt: der Daumen der rechten Hand wird in Richtung des ersten Vektors, hier  \(\vec{a}\)  gestreckt, der Zeigefinger in Richtung des zweiten Vektors, hier  \(\vec{b}\) . Die Richtung von  \(\vec{c}\)  ist dann identisch mit der Richtung des angewinkelten Mittelfingers.

Rechte-Hand-Regel beim Kreuzprodukt

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Beim Kreuzprodukt ist die Reihenfolge der beiden Ausgangsvektoren wichtig, d.h. das Kommutativgesetz gilt nicht:

$${\vec{a} \times  \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}}$$

Dies lässt sich auch leicht mit der Rechten-Hand-Regel überprüfen.

Es gibt eine einfache Merkregel für die Berechnung des Kreuzproduktes zweier Vektoren:
Schritt 1: Schreibe die beiden Vektoren zweimal untereinander.
Schritt 2: Streiche die erste und die letzte Zeile.
Schritt 3: Nimm über kreuz mal (daher auch der Name) und ziehe das zweite Produkt vom ersten ab.

Dieses Vorgehen ist hier veranschaulicht:

Schrittweises Vorgehen beim Berechnen des Kreuzproduktes

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Der Betrag  \(\left| \vec{c} \right|\)  von  \(\vec{c}\)  lässt sich neben den bekannten Berechnungsvorschriften auch berechnen über:

$$\left|\vec{c}\right| = \left|\vec{a} \times \vec{b}\right| = ab \sin(\varphi)$$

\(\varphi\)  ist der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel und wird von  \(\vec{a}\) aus mathematisch positiv gemessen.

Geometrisch betrachtet ist der Betrag des resultierenden Vektors identisch mit dem Wert des Flächeninhalts, des von den beiden Vektoren  \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  aufgespannten Parallelogramms:

Betrag des Ergebnisvektors beim Kreuzprodukt

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Vektorprodukt = Kreuzprodukt

Das Ergebnis des Vektorproduktes zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Der Ergebnisvektor wird nach der folgenden Rechenvorschrift berechnet:

Rechenvorschrift für das Kreuzprodukt

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Dann lässt sich der Betrag nach den bekannten Vorschriften (Stichwort 'Pythagoras' oder 'Skalarprodukt') berechnen. Alternativ kann der Betrag auch über die eingeschlossene Fläche der Raute berechnet werden.

Betrag des Ergebnisvektors beim Kreuzprodukt

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Die Richtung des Ergebnisvektors lässt sich - auch vorab - mit der Rechten-Hand-Regel bestimmen.

Rechte-Hand-Regel beim Kreuzprodukt

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Das Kommutativgesetz gilt für das Kreuzprodukt nicht, d.h. die Reihenfolge der Vektoren kann nicht vertauscht werden. Es gilt stattdessen, wie sich mit der Rechten-Hand-Regel auch leicht prüfen lässt.

$$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$$

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Berechne das Kreuzprodukt und führe den Plausibilitätscheck durch

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Berechne das Kreuzprodukt verschiedener Vektoren

Skalarprodukt für Vektoren

Für Vektoren sind zwei Arten von Produkten definiert: das Vektorprodukt, das auch Kreuzprodukt genannt wird, und das Skalarprodukt.

Anders als beim Vektorprodukt ist das Ergebnis des Skalarproduktes ein Skalar, also eine Zahl.
Diese Zahl berechnet sich nach folgender Vorschrift:
$${\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3}$$

Werden zwei Vektoren skalar miteinander malgenommen, so errechnet sich das Ergebnis also als Summe der Produkte der Komponenten.

Die Reihenfolge der Vektoren kann beim Skalarprodukt vertauscht werden: Es gilt das Kommutativgesetz
$${\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}}$$

Definiert ist das Skalarprodukt mithilfe des Winkels, den die beiden Vektoren, die miteinander multipliziert werden, einschließen. Dabei wird der Winkel mathematisch positiv, also gegen den Uhrzeigersinn, vom ersten zum zweiten Vektor abgetragen.

Zwischen zwei Vektoren eingeschlossener Winkel

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\(a\)  und  \(b\)  sind hierbei die Beträge, also die Längen der beiden Vektoren.

Soll der Winkel zwischen zwei gegebenen Vektoren bestimmt werden, so ist dies nach Umstellen dieser Beziehung leicht möglich:
$$\cos(\varphi)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ab}$$

Auch lässt sich leicht prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, also orthogonal sind. Der eingeschlossene Winkel zweier senkrecht aufeinanderstehender Vektoren ist  \(\varphi = 90°\). Und da  \(\cos(\varphi = 90°) =0\)  gilt, ist auch das Skalarprodukt in diesem Fall Null.
$${\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \qquad \leftrightarrow \qquad \vec{a} \perp \vec{b}}$$

Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren den Wert Null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.

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Berechne das Skalarprodukt verschiedener Vektoren