Vektorrechnung
3. Rechenoperationen
3.5. Vektorprodukt
Vektorprodukt für Vektoren
Für Vektoren sind zwei Arten von Produkten definiert: das Vektorprodukt, das auch Kreuzprodukt genannt wird, und das Skalarprodukt.
Wie der Name schon klarstellt, ist das Ergebnis des Vektorproduktes wieder ein Vektor; das Ergebnis des Skalarproduktes ist hingegen kein Vektor, sondern ein Skalar, also eine Zahl.
Werden zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) mittels Kreuzprodukt miteinander verrechnet, ergibt sich wieder ein Vektor. Nennen wir ihn Vektor \(\vec{c}\) . Vektor \(\vec{c}\) steht senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren.
Mit der Rechten-Hand-Regel lässt sich dabei leicht überprüfen, in welche Richtung \(\vec{c}\) zeigt: der Daumen der rechten Hand wird in Richtung des ersten Vektors, hier \(\vec{a}\) gestreckt, der Zeigefinger in Richtung des zweiten Vektors, hier \(\vec{b}\) . Die Richtung von \(\vec{c}\) ist dann identisch mit der Richtung des angewinkelten Mittelfingers.
Rechte-Hand-Regel beim Kreuzprodukt
Weitere Informationen
Johanna Peters - Mechanik hautnah | TU Hamburg
CC BY 4.0
https://learn.hoou.de/pluginfile.php/13788/mod_book/chapter/2150/Rechte_Hand_Regel_beim_Kreuzprodukt.png
Beim Kreuzprodukt ist die Reihenfolge der beiden Ausgangsvektoren wichtig, d.h. das Kommutativgesetz gilt nicht:
$${\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}}$$
Dies lässt sich auch leicht mit der Rechten-Hand-Regel überprüfen.
Es gibt eine einfache Merkregel für die Berechnung des Kreuzproduktes zweier Vektoren:
Schritt 1: Schreibe die beiden Vektoren zweimal untereinander.
Schritt 2: Streiche die erste und die letzte Zeile.
Schritt 3: Nimm über kreuz mal (daher auch der Name) und ziehe das zweite Produkt vom ersten ab.
Dieses Vorgehen ist hier veranschaulicht:
Schrittweises Vorgehen beim Berechnen des Kreuzproduktes
Weitere Informationen
Johanna Peters - Mechanik hautnah | TU Hamburg
CC BY 4.0
https://learn.hoou.de/pluginfile.php/13788/mod_book/chapter/2150/Schrittweises_Vorgehen_beim_Berechnen_des_Kreuzproduktes.png
Der Betrag \(\left| \vec{c} \right|\) von \(\vec{c}\) lässt sich neben den bekannten Berechnungsvorschriften auch berechnen über:
$$\left|\vec{c}\right| = \left|\vec{a} \times \vec{b}\right| = ab \sin(\varphi)$$
\(\varphi\) ist der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel und wird von \(\vec{a}\) aus mathematisch positiv gemessen.
Geometrisch betrachtet ist der Betrag des resultierenden Vektors identisch mit dem Wert des Flächeninhalts, des von den beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms:
Betrag des Ergebnisvektors beim Kreuzprodukt
Weitere Informationen
Johanna Peters - Mechanik hautnah | TU Hamburg
CC BY 4.0
https://learn.hoou.de/pluginfile.php/13788/mod_book/chapter/2150/Betrag_des_Ergebnisvektors_beim_Kreuzprodukt.png
Zusammenfassung - Das Wichtigste in Kürze
Vektorprodukt = Kreuzprodukt
Das Ergebnis des Vektorproduktes zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Der Ergebnisvektor wird nach der folgenden Rechenvorschrift berechnet:
Rechenvorschrift für das Kreuzprodukt
Weitere Informationen
Johanna Peters - Mechanik hautnah | TU Hamburg
CC BY 4.0
https://writemd.rz.tuhh.de/uploads/a8e868b3e0e3a27307fed831f.png
Dann lässt sich der Betrag nach den bekannten Vorschriften (Stichwort 'Pythagoras' oder 'Skalarprodukt') berechnen. Alternativ kann der Betrag auch über die eingeschlossene Fläche der Raute berechnet werden.
Betrag des Ergebnisvektors beim Kreuzprodukt
Weitere Informationen
Johanna Peters - Mechanik hautnah | TU Hamburg
CC BY 4.0
https://learn.hoou.de/pluginfile.php/13788/mod_book/chapter/2150/Betrag_des_Ergebnisvektors_beim_Kreuzprodukt.png
Die Richtung des Ergebnisvektors lässt sich - auch vorab - mit der Rechten-Hand-Regel bestimmen.
Rechte-Hand-Regel beim Kreuzprodukt
Weitere Informationen
Johanna Peters - Mechanik hautnah | TU Hamburg
CC BY 4.0
https://learn.hoou.de/pluginfile.php/13788/mod_book/chapter/2150/Rechte_Hand_Regel_beim_Kreuzprodukt.png
Das Kommutativgesetz gilt für das Kreuzprodukt nicht, d.h. die Reihenfolge der Vektoren kann nicht vertauscht werden. Es gilt stattdessen, wie sich mit der Rechten-Hand-Regel auch leicht prüfen lässt.
$$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$$
