Definition und Darstellung eines Vektors

Im realen Leben gibt es viele Größen – z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Moment, Impuls, Drall – die nur vollständig charakterisiert werden können, wenn man den Betrag und die Richtung, in die die jeweilige Größe wirkt, kennt.  Man nennt diese Größen daher auch gerichtete Größen. Und um genau solche Größen mathematisch beschreiben zu können, werden Vektoren verwendet. Vektoren haben eine Länge, allgemeiner sagt man auch einen Betrag, und sie geben die Richtung der Größe an, die sie beschreiben. Und es spielt eine Rolle, wo die entsprechende Größe wirkt. Informationen über die Lage oder den Angriffspunkt der Größe braucht es also auch noch.

Für die graphische Darstellung eines Vektors wird ein Pfeil verwendet. Das ist im Straßenverkehr nicht anders. Der Pfeil gibt die Richtung an.

In der Mathematik steht neben dem Pfeil der Betrag/die Länge des Vektors. Das kann eine Zahl oder eine Variable sein. Im Fall einer Kiste mit einer Masse von \(m_1=10\mathrm{kg}\) , also einer Gewichtskraft von etwa  \( G_1 = m_1 \cdot g= 100\mathrm{N} \) , sieht das dann so aus. Eine doppelt so schwere Kiste ist in der Abbildung ebenfalls dargestellt.

Verschiedene Darstellungsvarianten für den Betrag eines Vektors: maßstäbliche Pfeillänge

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Johanna Peters - Mechanik hautnah | TU Hamburg
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Werden Vektoren maßstäblich gezeichnet, entspricht die Länge des Pfeils dem Betrag des Vektors. Ein doppelt so langer Pfeil bedeutet dann also, dass die Gewichtskraft des zweiten Objektes doppelt so groß ist. In dieser Darstellungsvariante enthält der Pfeil also die Richtungs – und die Betragsinformation, so lange der Maßstab bekannt ist. Die Angabe des Betrags als "Zahl daneben" ist dann theoretisch doppeltgemoppelt, dient aber in jedem Fall der Übersicht.

Oft werden aber alle Pfeile gleich lang dargestellt.

In diesem Fall wird durch die Richtung des Pfeils die Richtung der physikalischen Größe angegeben. Die Information zum Betrag ergibt sich einzig und allein aus der Zahl oder der Variablen, die neben dem Pfeil steht.

An dieser Stelle vielleicht ein paar Worte zum Thema Variablen: Werden wie in der Mechanik physikalische Zusammenhänge betrachtet, ist es hilfreich und sinnvoll, die beschreibenden Gleichungen erst einmal mit Variablen aufzustellen. Dies setzt voraus, dass z.B. für die Beträge von Vektoren, aber eben auch für Abstände, zunächst Variablen verwendet werden und nicht gleich Zahlenwerte. Die Zahlenwerte werden erst ganz am Ende eingesetzt. Was ist der Vorteil dieser Vorgehensweise? Der größte Vorteil ist, dass man allgemeingültige Gleichungen für ein System erhält. Man kann also für ein und dasselbe System sehr einfach verschiedene Varianten durchrechnen. Nehmen wir einmal das Beispiel einer Brücke. Aus Ingenieurssicht interessiert z.B. die Beanspruchung der Brückenpfeiler, wenn nicht so viel Verkehr herrscht. Genauso interessant ist aber auch die Belastung zur Rush Hour, wenn fünf Mal so viel Verkehr fließt, also deutlich mehr Gewicht auf den Pfeilern lastet. Stehen die Gleichungen in Form von Variablen zur Verfügung, können unterschiedliche Zahlenwerte für die Belastung einfach eingesetzt und die daraus resultierenden Beanspruchungen der Pfeiler für unterschiedliche Lastszenarien ausgerechnet werden. Genauso einfach könnte überprüft werden, wie es sich auf die Beanspruchung der Pfeiler auswirkt, wenn die Länge der Brücke z.B. um 20% erhöht wird.

Für die mathematische Darstellung von Vektoren werden verschiedene Schreibweisen verwendet. Je nach Quelle werden Vektoren fett, mit Unterstrich oder mit einem Pfeil darüber dargestellt. Diese drei Darstellungen beschreiben also ein und denselben Vektor:

$$\mathbf{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\hspace{3cm} \underline{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\hspace{3cm} \vec{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

Auch bei der Wahl der Klammerart gibt es verschiedene Schreibweisen: es werden sowohl runde als auch eckige Klammern verwendet. Um Vektoren auch in einer Zeile schreiben zu können, wird das sogenannte transponiert-Zeichen verwendet.

$$
\underline{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad \leftrightarrow \qquad \underline{r}=[1\quad 0\quad -1]^T
$$

Zwei Vektoren sind immer dann identisch, wenn sie dieselbe Richtung und denselben Betrag haben, also gleich lang sind. Alle in der folgenden Abbildung gezeigten Vektoren sind daher identisch: $$\vec{a}\ =\ \vec{b}\ =\ \vec{c}\ =\ \vec{d}$$