Es gibt verschiedene Darstellungsformen für Vektoren. Alle folgenden mathematischen Darstellungen sind identisch:

$$\mathbf{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\qquad \underline{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\qquad \vec{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad\underline{r}=[1\quad 0\quad -1]^T$$

Für die graphische Darstellung wird ein Pfeil verwendet. Neben dem Pfeil steht der vorzeichenbehaftete Betrag.
Das Vorzeichen vor dem Betrag gibt zusätzlich die Richtungsinformation an:
’ + ’ bedeutet in Richtung des eingezeichneten Pfeils,
’ - ’ bedeutet entgegen der Richtung des eingezeichneten Pfeils.

Darstellung eines Vektors mit Angabe von Richtung und Betrag

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Der Betrag eines Vektors gibt die Länge des Vektors an.
Er kann mittels des Skalarproduktes oder mittels des Satzes von Pythagoras berechnet werden:

$$\quad\vec{\hat{r}}=\dfrac{1}{\left| \vec{r} \right|}\vec{r}$$

Ein normierter Vektor hat die Länge 1 und zeigt in die Richtung des ursprünglichen Vektors. Er wird auch Einsvektor oder Einheitsvektor genannt.

Ein normierter Vektor ist immer einheitenlos, da durch den Betrag des Vektors geteilt wird. Und da der Betrag dieselbe Einheit hat, wie die einzelnen Komponenten, kürzen sich die Einheiten weg.

Ist der Einsvektor in eine bestimmte Richtung bekannt, kann ein beliebiger Vektor, der in diese Richtung zeigt, leicht angegeben werden:
$$\vec{F}=F\cdot \vec{\hat{r}}_{AB}$$

Vektor mit Betrag \( F \) in Richtung der Strecke von Punkt \( A \) nach Punkt \( B \).

$$m \cdot \vec{a}=\begin{pmatrix} m \cdot a_1 \\ m \cdot a_2 \\ m \cdot a_3 \end{pmatrix}$$

Der Ausgangsvektor wird um den Faktor \( m \) skaliert: Er behält seine Richtung, ändert aber seine Länge um den Faktor \( m \).

Insbesondere: Malnehmen mit \( m=(-1) \) bedeutet, dass sich die Richtung des Vektors umkehrt:

$$\vec{a}=\begin{pmatrix}  a_1 \\ a_2 \\  a_3 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad (-1) \cdot \vec{a}=\begin{pmatrix} - a_1 \\ - a_2 \\ - a_3 \end{pmatrix}$$

Wenn zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) addiert werden, ist das Ergebnis wieder ein Vektor. Dies sei \(\vec{c}\). Die Komponenten von \(\vec{c}\) ergeben sich, indem die Komponenten von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) einzeln addiert werden.

$$\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \qquad\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad \vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix} =\vec{c}$$

Bei der Addition von Vektoren ist die Reihenfolge vertauschbar, d.h. es gilt das Kommutativgesetz.

$$\vec{a} +  \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$$

Graphisch lässt sich die Addition als "Hintereinanderschaltung" der beiden Vektoren verstehen

Addition von Vektoren

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Das Ergebnis des Vektorproduktes zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Der Ergebnisvektor wird nach der folgenden Rechenvorschrift berechnet:

Rechenvorschrift für das Kreuzprodukt

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Dann lässt sich der Betrag nach den bekannten Vorschriften (Stichwort 'Pythagoras' oder 'Skalarprodukt') berechnen. Alternativ kann der Betrag auch über die eingeschlossene Fläche der Raute berechnet werden.

Betrag des Ergebnisvektors beim Kreuzprodukt

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Die Richtung des Ergebnisvektors lässt sich - auch vorab - mit der Rechten-Hand-Regel bestimmen.

Rechte-Hand-Regel beim Kreuzprodukt

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Das Kommutativgesetz gilt für das Kreuzprodukt nicht, d.h. die Reihenfolge der Vektoren kann nicht vertauscht werden. Es gilt stattdessen, wie sich mit der Rechten-Hand-Regel auch leicht prüfen lässt.

$$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$$

Das Ergebnis des Skalarproduktes zweier Vektoren ist eine Zahl. Diese Zahl wird nach der folgenden Rechenvorschrift berechnet:
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$$

Werden zwei Vektoren skalar miteinander malgenommen, so errechnet sich das Ergebnis also als Summe der Produkte der Komponenten.

Das Kommutativgesetz gilt für das Skalarprodukt, d.h. die Reihenfolge der Vektoren kann vertauscht werden:
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$$

Alternativ lässt sich das Ergebnis auch über die Beträge der beiden Vektoren und den eingeschlossenen Winkel bestimmen
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cdot \cos(\varphi)$$

Für den Winkel zwischen zwei gegebenenVektoren gilt also:
$$\cos(\varphi)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ab}$$

Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, sind also orthogonal zueinander, ist das Skalarprodukt null
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \qquad \leftrightarrow \qquad \vec{a} \perp \vec{b}$$