6. Berechnung von Rahmen

Rahmen sind aus mehreren Balken zusammengesetzte Strukturen. Damit ist dir vermutlich gleich von Anfang an klar, dass du alles, was du bisher über die Berechnung von Schnittgrößen in einzelnen Balken gelernt hast, anwenden kannst (und musst), wenn du die Schnittgrößenverläufe in Rahmen bestimmen willst.

Ich gehe daher in diesem Kapitel davon aus, dass du für einen einzelnen Balken mit den beiden Berechnungsmethoden für Schnittgrößen \(-\) "Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen" und "Integrationsbeziehungen nutzen" \(-\) in allen Details gut auskennst.

In diesem Abschnitt zeige ich dir, wie du dein Wissen auf Rahmen anwenden kannst. Vieles sollte dir also bekannt und vertraut vorkommen.

Lass uns also gleich mit einem konkreten Beispiel starten.

Der Rahmen besteht aus drei Balken, die jeweils die Länge \(\ell\) haben. Der Rahmen ist im Punkt \(A\) mit einem Festlager und im Punkt \(D\) mit einem Loslager gelagert. Er wird wie dargestellt durch eine Streckenlast und zwei Einzelkräfte belastet.

Rahmen bestehend aus drei Balken

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Wie bei jedem anderen mechanischen System kannst du natürlich in einem ersten Schritt das Gesamtsystem, also den Rahmen, von den Lagern freischneiden und die Lagerreaktionen durch Auswerten der Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Ich habe mich entschieden, ein globales Koordinatensystem mit \(x-\)Achse nach rechts und \(z-\)Achse nach unten zu verwenden.

Lagerreaktionen am Rahmen

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Lass uns die Balken von links nach rechts von 1 bis 3 durchnummerieren. Der horizontale Balken mit der Streckenlast ist dann Balken 1. Jeder Balken bekommt sein eigenes balkentypisches Koordinatensystem. Für Balken 1 bedeutet das "\(x_1-\)Achse entlang des Balkens und \(z_1\)-Achse in \(x_1-\)Richtung laufend nach rechts". Zu besseren Übersicht habe ich Koordinatensystem und auch Schnittgrößen für Balken 1 in dem helleren Blauton eingezeichnet.
Wenn dich jetzt die Schnittgrößen in Balken 1 interessieren, ist es nur logisch, den Balken irgendwo entlang seiner Länge durchzuschneiden. Dann entsteht ein linkes und ein rechtes Teilsystem. An der Schnittstelle musst du natürlich die Schnittgrößen gemäß der üblichen Konvention für die Schnittufer eintragen. Du kannst dich entscheiden, mit dem linken oder dem rechten Teilsystem weiterrechnen und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und diese nach den gesuchten Schnittgrößen \(N(x_1)\), \(Q(x_1)\) und \(M(x_1)\) umstellen, so, wie du es bei einem einzelnen Balken auch tun würdest. Im rechten Teilsystem "hängt jetzt eben ein bisschen mehr System" am Balkenstück des Balkens 1.

Schnittgrößen in Balken 1

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Für Balken 2 gehst du genauso vor. Balken 2 ist der Balken, der vertikal ausgerichtet ist. Für ihn habe ich magenta als Farbe vorgesehen. Er bekommt im ersten Schritt sein eigenes Koordinatensystem mit \(x_2-\)Achse entlang des Balkens und \(z_2-\)Achse senkrecht dazu. Der Ursprung liegt im Punkt \(B\). Wenn du magst, kannst du für die weiteren Schritte einfach den Monitor um 90° drehen. Dann hast du einen horizontalen Balken "wie immer".
Du setzt bei einem beliebigen Wert von \(x_2\) einen Schnitt, zeichnest die Schnittgrößen gemäß der üblichen Vorzeichenkonventionen ein, und schon hast zu ein oberes und ein unteres Teilsystem, mit dem du über das Aufstellen von Gleichgewichtsbedingungen die Schnittgrößen \(N(x_2)\), \(Q(x_2)\) und \(M(x_2)\) bestimmen kannst.

Schnittgrößen in Balken 2

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Balken 3 ist der horizontale Balken zwischen Punkt \(C\) und Punkt \(D\). Er bekommt das Koordinatensystem \(x_3\), \(y_3\) und \(z_3\). Da eine Einzelkraft \(F\) hier in der Mitte des Balkens angreift, muss der Balken also in zwei Bereiche unterteilt werden:
Bereich I: \(0<x_3<\dfrac{\ell}{2}\),
Bereich II: \(\dfrac{\ell}{2}<x_3<\ell\).
Das würdest du bei einem einzelnen Balken auch nicht anders handhaben.

Ansonsten ist das Vorgehen wie immer: Schnitt setzen, Schnittgrößen eintragen, für rechtes oder linkes Teilsystem entscheiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen, nach den Schnittgrößen \(N_{I}(x_3)\), \(Q_{I}(x_3)\) und \(M_{I}(x_3)\) bzw. \(N_{II}(x_3)\), \(Q_{II}(x_3)\) und \(M_{II}(x_3)\) auflösen.

Schnittgrößen in Balken 3

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Im folgenden Bild siehst du, für welches Teilsystem ich mich jeweils entschieden habe, um die Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Die Ergebnisse für die Schnittgrößen habe ich bewusst angegeben, ohne die Werte für die Lagerreaktionen einzusetzen, damit du deine eigene Rechnung leichter vergleichen kannst.
Wenn du mit dem jeweils anderen Teilsystem rechnest, bekommst du dasselbe heraus. Natürlich musst du dann in beiden Versionen die Lagerreaktionen einsetzen, damit du die Ergebnisse vergleichen kannst.

Funktionen der Schnittgrößen in allen drei Balken

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Du siehst also: Es ist gar nicht so viel neu bei der Berechnung von Rahmen. Natürlich ist es erstmal ungewohnt, mit mehreren Koordinatensystemen zu rechnen: Jeder Balken bekommt sein eigenes, so dass du alle dir bereits bekannten Konventionen für die Schnittufer und das Einzeichnen von Schnittgrößen verwenden kannst. Vielleicht hilft es dir am Anfang so wie ich, verschiedene Farben zu verwenden. Und ansonsten heißt es: sauber Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und auswerten. Und wenn du viele Aufgaben gerechnet hast, wirst du immer besser darin werden, zu "sehen" welches der beiden entstandenen Teilsysteme einfacher zu berechnen ist.
Du hast gemerkt, dass ich mich für Balken 2 für das untere und für Balken 3 jeweils für das rechte Teilsystem entschieden habe. Warum habe ich das getan? In den von mir gewählten Teilsystemen war jeweils NICHT die Streckenlast vorhanden. Ich habe mir so also erspart, die Streckenlast zu einer resultierenden Einzelkraft zusammenfassen zu müssen, um die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen zu müssen.

Bleibt zum Schluss noch die Frage: Kann man bei Rahmen auch mit dem Verfahren "Integrationsbedingungen auswerten" arbeiten? Die Antwort lautet: Na klar.
Grundsätzlich ändert sich an dem Vorgehen, dass du von einem einzelnen Balken kennst, nichts. Lediglich bei der Bestimmung der Randbedingungen gibt es etwas kleinen Neues. Das möchte ich dir exemplarisch an Balken 1 demonstrieren.

Wie gewohnt stellst du die Funktion für die Streckenlast \(q(x_1)\) auf und integrierst zwei mal hoch, um auf die Funktionen für \(Q(x_1)\) und \(M(x_1)\) zu kommen. In diesem Prozess treten wie gewohnt zwei Integrationskonstanten auf.

Ebenfalls wie gewohnt, ist aufgrund der Lagerung und Belastungssituation im Punkt \(A\) eine Randbedingung \(M(x_1=0)=0\).
Bei einem einfachen Balken war es ja möglich, eine zweite Randbedingung aufzustellen, ohne dafür Lagerreaktionen zu berechnen. Das ist beim Rahmen nicht mehr möglich. Entweder du verwendest als zweite Randbedingung die Bedingung für \(Q(x_1=0)\). Dann musst du den Wert von \(A_z\) berechnen. Oder du verwendest eine der Randbedingungen am rechten Ende von Balken 1, also im Punkt \(B\). Dann musst du die Lagerreaktionen in Punkt \(B\) vorab bestimmen, da entweder \(B_z\) oder \(M^B\) in der zweiten Randbedingung auftauchen.

Ansatz mit Integration für Balken 1

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Nur bei der Bestimmung der Integrationskonstanten gibt es also eine kleine Veränderung gegenüber der Betrachtung eines einfachen Balkens.

Arbeitsblatt - Teste dein Wissen

Schnittgrößen bei Rahmen

Rahmen mit Streckenlast und Einzelkraft