Schnittgrößen: Innere Kräfte und Momente am Balken

Wird ein Balken von außen belastet, treten in seinem Inneren Kräfte und Momente auf. Es ist wichtig, diese inneren Größen berechnen zu können, da sie die Basis für das Verständnis von Spannungen in einem Bauteil bilden. Nur so kann die Tragfähigkeit von Tragwerken untersucht oder zum Beispiel der erforderliche Querschnitt eines Balkens festgelegt, also dimensioniert werden.

Wie Reaktionsgrößen bei Lagern werden die inneren Kräfte und Momente durch Freischneiden sichtbar. Deswegen werden diese Größen zusammen auch als Schnittgrößen bezeichnet. 
Der Wert der Schnittgrößen ist in der Regel davon abhängig, an welcher Stelle entlang seiner Länge der Balken geschnitten wird. 

A) Konvention für das Koordinatensystem
Bevor wir den ersten Balken durchschneiden, um die Kräfte und Momente in seinem Inneren, also die Schnittgrößen, sichtbar zu machen, lohnt es sich, dass wir uns erstmal auf ein paar Konventionen einigen. Die erste Konvention betrifft die Wahl des Koordinatensystems. Bei Balken hat man sich auf Folgendes verständigt: 

1. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt an einem Ende des Balkens.

2. Die \( x \)-Achse läuft entlang der Balkenachse, so dass \( x \) nur den Wert Null oder positive Werte haben kann.

3. Die \( z \)-Achse zeigt senkrecht dazu und zwar nach rechts, wenn du in positive \(x\)-Richtung läufst.

4. Die \( y \)-Achse zeigt demnach gemäß der Rechte-Hand-Regel für Koordinatensysteme aus der Bildebene heraus.

Konvention für das Koordinatensystem beim Balken

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Ich habe auch noch ein kurzes Video erstellt, indem ich dir die wichtigsten Punkte zur Konvention der Wahl des Koordinatensystems bei Balken erkläre. 

B) Konvention für die Schnittufer

Wird ein Balken an einer beliebigen Stelle entlang seiner Länge senkrecht zu seiner Hauptrichtung geschnitten, entstehen zwei Teilsysteme.
Im folgenden Beispiel gibt es ein linkes und ein rechtes Teilsystem.

Konvention für die Schnittufer beim Balken

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Zu beiden Schnittflächen gibt es einen Normalenvektor der jeweiligen Schnittfläche, der weg vom zugehörigen Balkenstück zeigt. Dasjenige Schnittufer, bei dem der Normalenvektor in positive \( x \)-Richtung zeigt, wird positives Schnittufer genannt. Das andere Schnittufer, das negative Schnittufer, ist also das Ufer, bei dem der nach außen zeigende Normalenvektor in negative \( x \)-Richtung zeigt.

C) Zwischenstopp Feste Einspannung
Bevor wir jetzt schauen, was an der Schnittstelle im Balken los ist, möchte ich dich einladen, dich noch einmal kurz daran zu erinnern, was du über das Freischneiden von festen Einspannungen gelernt hast.
Mit einer festen Einspannung ist z.B. ein Balken fest mit der Umgebung verbunden. Es gibt keinerlei Bewegungsmöglichkeit für den Balken relativ zur Umgebung. Alle Freiheitsgrade sind eingeschränkt und es können beliebige Kräfte und Momente übertragen werden. Im ebenen Fall bedeutet das, dass eine resultierende Kraft, die in der \( xz \)-Ebene liegt, und ein Moment um die \( y \)-Achse übertragen werden können. beim Freischneiden der festen Einspannung werden genau diese Reaktionsgrößen sichtbar, wobei die resultierende Kraft typischer Weise gleich in ihre Komponenten in Koordinatenrichtung zerlegt wird.
Bei den Bezeichnungen wird üblicherweise der Buchstabe verwendet, mit dem der Punkt bezeichnet ist. Und die Größen bekommen je noch einen Index, der ihre Richtung angibt.

Freikörperbild der festen Einspannung

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Bis vielleicht auf die Wahl der Richtungen des Koordinatensystems sollte dir dieses Vorgehen sehr geläufig sein.

D) Annäherung an die Schnittgrößen
Was ist denn jetzt eigentlich so anders, wenn du einen Balken irgendwo entlang seiner Länge durchschneidest? Kann sich das Balkenstück rechts vom Schnitt relativ zu dem Stück links vom Schnitt bewegen? Natürlich nicht. Es handelt sich ja um durchgehendes Material. Also sind die beiden Balkenstücke doch von der Lagerart genauso verbunden, wie ein Balken mit der Umgebung bei einer festen Einspannung, oder? Und das bedeutet doch dann nichts anderes, als dass an jeder Stelle entlang des Balkens beliebige Kräfte und Momente übertragen werden können, genauso wie bei der festen Einspannung. Im ebenen Fall, den wir hier ausschließlich betrachten wollen, bedeutet das also wieder eine resultierende Kraft, die in der \( xz \)-Ebene liegt, und ein Moment um die \( y \)-Achse, die übertragen werden können. Wird die resultierende Kraft in ihre Komponenten bezüglich des Koordinatensystems zerlegt, gibt es eine Komponente in \( x \)-Richtung und eine Komponente in \( z \)-Richtung. Es ist also alles genau so, wie bei der festen Einspannung.
Wenn du so willst, ist ein Balken also so gesehen eine Aneinanderreihung ganz vieler fester Einspannungen und damit absolut nichts Neues für dich.

Richtungen der positiven Schnittgrößen am positiven Schnittufer

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E) Vorzeichen für Schnittgrößen
Wir hatten ja schon das positive und das negative Schnittufer eingeführt. Jetzt geht es weiter mit den Konventionen. Man hat sich darauf verständigt, dass am positiven Schnittufer positive Schnittgrößen in positive Koordinatenrichtungen zeigen. Deshalb sind die Schnittgrößen in der vorherigen Abbildung in positive Koordinatenrichtungen eingezeichnet worden.
Wenn du jetzt das negative Schnittufer hinzunimmst, dann solltest du auch sofort wissen, wie du die Schnittgrößen hier einzeichnen musst:
Immer wenn du etwas freischneidest, also zwei Systemteile voneinander trennst, gilt ja das Gegenwirkungsprinzip oder "Actio = Reactio". Also musst du die Schnittgrößen am negativen Schnittufer in negative Koordinatenrichtungen einzeichnen. Sonst sind die Bedingungen für das Gleichgewicht ja nicht mehr erfüllt.
Wenn am positiven Schnittufer positive Schnittgröße in positive Koordinatenrichtungen zeigen, bedeutet das also, dass am negativen Schnittufer positive Schnittgrößen in negative Koordinatenrichtungen zeigen.

Richtungen der positiven Schnittgrößen an beiden Schnittufern

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F) Bezeichnungen für Schnittgrößen
Lass uns annehmen, dass der Punkt, an der Schnitt durch den Balken ausgeführt wird, mit \( P \)  bezeichnet wird. Nachdem, was du bisher gelernt hast, hättest du die Schnittgrößen am Punkt \( P \) vermutlich so bezeichnet:

Naheliegende Bezeichnung der Schnittgrößen

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Da wir ja schon gesagt haben, dass wir uns für die Verläufe der Schnittgrößen interessieren, also für die Werte der Schnittgrößen an einer beliebigen Stelle \( x \) entlang der \( x \)-Achse, hättest du vermutlich gesagt: "Der Punkt \( P \) kann ja an einer beliebigen Stelle \( x \) innerhalb des Balkens liegen. Also muss gelten \( P_x=P_x(x), P_z=P_z(x) \) und \( M_y^P=M_y^P(x) \), da die Werte der Schnittgrößen ja von der Position des Schnittes abhängen können."

Naheliegende Bezeichnung der Schnittgrößen mit Angabe der Abhängigkeit von der Lage der Schnittes an der Stelle \( x \)

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Soweit ist alles korrekt und logisch, oder?
Das Einzige, was jetzt noch passiert ist, dass die Schnittgrößen eine andere Bezeichnung bzw. einen anderen Namen bekommen. Das ist wieder so eine Konvention.
\( P_x(x) \) wird mit \( N(x) \) bezeichnet und ist die Normalkraft, weil sie in Richtung des Normalenvektors der Schnittfläche zeigt.
\( P_z(x) \) heißt \( Q(x) \) und ist die Querkraft, weil sie quer zur Balkenachse verläuft.
\( M_y^P(x) \) heißt \( M_{By} \) oder nur \( M_y \)  und ist das Biegemoment, weil der Balken, wenn er als verformbar betrachtet würde, sich durch die Wirkung dieses Momentes durchbiegen würde.

Konvention für die Bezeichnung von Schnittgrößen

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Das sind sie also, die Schnittgrößen und die zugehörigen Konventionen. Wenn du ehrlich bist, ist bis auf die Konventionen für die Wahl des Koordinatensystems und die Einführung des Begriffs Schnittufer nicht wirklich was neu. Na gut, an die Namen für die Schnittgrößen musst du dich vielleicht noch gewöhnen. Aber ansonsten gilt: Wenn du eine feste Einspannung freischneiden kannst und das Prinzip "Actio =  Reactio" beherrschst, kennst du schon alle wesentlichen mechanischen Inhalte, die du bis hierher benötigt hast.

G) Lagergrößen vs. Schnittgrößen

Wenn ich dich fragen würde, ob es einen Unterschied zwischen Lagergrößen und Schnittgrößen gibt, würdest du vermutlich antworten : "Ja klar." ... zumindest hoffe ich das. Und wenn ich weiter fragen würde, was der Unterschied zwischen den beiden ist, würdest du vielleicht sagen: "Lagergrößen und Schnittgrößen werden durch Freischneiden sichtbar. Da Lager mechanische Systeme, wie z.B. Balken, mit der Umgebung verbinden oder Systemteile untereinander, z.B. verschiedene Balken, treten sie genau an diesen Stellen auf. Schnittgrößen dagegen werden sichtbar, wenn man einen Balken durchschneidet."

Da ich das Phänomen beobachtet habe, dass Studierende, die Lager sicher freischneiden können, auf einmal ins Schleudern kommen, wenn sie gerade anfangen, sich mit Schnittgrößen zu beschäftigen, habe ich das folgende Video erstellt.

Zum Abschluss noch ein Tipp: Mach dir rein auf mathematischer Ebene wirklich einmal ganz bewusst klar, was es eigentlich bedeutet, dass die \(z-\)Achse, also die Ordinate des Koordinatensystems, nach unten zeigt. Es lohnt sich, dieses "Über-Kopf-Denken" völlig losgelöst von der Beschäftigung mit Schnittgrößen zu trainieren, damit du es wie selbstverständlich beherrscht und deine Aufmerksamkeit voll und ganz auf die mechanischen Inhalte richten kannst. Hier ein paar Erklärungen dazu im Video:

Arbeitsblatt - Teste dein Wissen

Schneiden: Gewusst was!

 

Schneiden: Gewusst was! Welches Freikörperbild ist korrekt?

 

Schnittgrößen: Welches Freikörperbild ist korrekt?

 

Schnittgrößen: Nur gucken, nicht anfassen.

Das grundsätzliche Vorgehen, um Schnittgrößen in einem Balken zu bestimmen, indem du ein Freikörperbild erstellst und dann Gleichgewichtsbedingungen aufstellst, wollen wir uns als erstes an einem ganz einfachen Balken anschauen. Wir nehmen dafür einen fest eingespannten Balken der Länge \(2 \ell\), der an seinem rechten Ende durch eine Einzelkraft in \(z-\)Richtung, eine Einzelkraft in \(x-\)Richtung und ein Moment wie dargestellt belastet wird.

Einfaches System für den Einstieg in die Berechnung von Schnittgrößen

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Wenn du im ersten Schritt die Lagerung freischneidest, ein Freikörperbild aufzeichnest und die Lagerreaktionen bestimmst, bekommst du das folgende Ergebnis.

Bestimmung der Lagerreaktionen

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Vielleicht musst du für dieses einfache System inzwischen auch schon gar nicht mehr rechnen, sondern 'siehst' das Ergebnis sofort.

So, jetzt aber: Nun wollen wir ins Innere des Balkens hineinschauen und die Funktionen für die Schnittgrößen bestimmen und ihre Verläufe zeichnen.
Wenn wir den Balken irgendwo im Bereich \( 0 < x < 2 \ell \) durchschneiden, entstehen zwei Teilsysteme: ein linkes und ein rechtes Teilsystem. Wenn du die Konvention für das Einzeichnen am von Schnittgrößen am positiven und negativen Schnittufer berücksichtigst, sehen die Freikörperbilder der beiden Teilsysteme so aus:

Bestimmung der Schnittgrößen (Teil 1): Schnitt mit Schnittposition \( x \) im Bereich \( 0 < x < 2 \ell \) , Freikörperbilder und GGB

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Wenn du die Gleichgewichtsbedingungen aufstellst siehst du, dass du in diesem Beispiel jeweils eine Gleichung direkt nach einer der gesuchten Schnittgrößen \( N \) , \( Q \) und \( M \) auflösen kannst. Dabei ist es egal, ob du die Gleichungen für das linke oder das rechte Teilsystem aufstellst. Das wiederum ist ja völlig logisch, da in der Statik auch jedes herausgeschnittene Teilsystem wieder im Gleichgewicht ist, wenn an der Schnittstelle geeignete Reaktionsgrößen berücksichtigt werden und genau das haben wir ja getan.

Diese Verläufe kannst du in Diagramme zeichnen. Das sieht dann so aus.

Bestimmung der Schnittgrößen (Teil 2): Darstellung der Verläufe der Schnittgrößen

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Es gibt verschiedene Arten, wie du die Verläufe darstellen kannst. Einige Berufszweige und damit auch Lehrbücher befürworten es, die Ordinate der Diagramme 'nach oben' also entgegen der positiven \( z \)-Richtung einzuzeichnen. Andere zeichnen die Achsen 'nach unten' also in positive \( z \)- Richtung ein. Auch eine Mischform kommt vor.
Deswegen habe ich dir in der vorherigen Abbildung zwei verschiedene Varianten aufgezeichnet.

Was auch ohne Zeichnen der Verläufe schon klar war: die Werte der Normalkraft sind vollständig entkoppelt von dem, was in \( z \)-Richtung los ist, also vom Querkraft- und Momentenverlauf. Beim Querkraft- und Momentenverlauf hingegen kannst du vielleicht schon einen Zusammenhang erkennen, oder? Wenn du dir den Momentenverlauf anschaust und mal die Steigung der gezeigten Kurve betrachtest: Was fällt dir auf? 

Genau, die Steigung des Momentenverlaufs entspricht gerade dem Wert der Querkraft an der entsprechenden Stelle. Genau auf diese Art der Zusammenhänge und die sich daraus ergebenden Konsequenzen für die Berechnung von Schnittgrößen gehen wir im  Abschnitt "Berechnung mittels Integration/Ableitung" weiter ein.

Und wenn du dich die ganze Zeit fragst: "Warum habe ich denn überhaupt die Lagerreaktionen berechnet? Wenn ich mit dem rechten Teilsystem arbeite benötige ich die doch gar nicht?", dann liegst du genau richtig. Für das System, das wir bisher betrachtet haben - mit der festen Einspannung an der linken Seite - hättest du die Lagerreaktionen nicht berechnen müssen, um die Schnittgrößen zu berechnen.
Wenn du dir denselben Balken aber mit einem Festlager am linken Ende und einem Loslager am rechten Ende anschaust, sieht die Welt schon anders aus. Um jetzt mit dem linken Teilsystem die Schnittgrößen berechnen zu können, brauchst du die Werte der Lagerreaktionen am Festlager. Um mit dem rechten Teilsystem die Schnittgrößen berechnen zu können, brauchst du den Wert des Lagerkraft im Loslager.

 Bestimmung der Schnittgrößen: Jetzt Fest-Los-Lagerung

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Du siehst also, es lohnt sich, Erfahrungen damit zu sammeln, mit beiden Teilsystem die Schnittgrößen zu berechnen. So wirst du mit der Zeit "sehen", welches der beiden Teilsysteme weniger Rechenaufwand mit sich bringt. 
Um es noch einmal zu betonen: egal, mit welchem Teilsystem du rechnest: es kommt immer dasselbe Ergebnis heraus ... nur der Rechenaufwand kann je nach System (stark) unterschiedlich für die einzelnen Teilsysteme sein.

Im kommenden Abschnitt schauen wir uns erstmal an, wie man bei Systemen mit Streckenlasten mit dem Vorgehen "Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen" die Verläufe der Schnittgrößen bestimmen kann.

Arbeitsblätter findest du am Ende des letzten Abschnitts aus diesem Bereich.

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir uns an einem ersten Beispiel damit beschäftigt, wie man die Verläufe von Schnittgrößen, also die Verläufe der Normalkraft \(N(x)\), der Querkraft \(Q(x)\) und des Biegemoments \(M(x)\) berechnet. Dabei haben wir bisher nur ein System betrachtet, bei dem keine Streckenlast vorliegt.

Bleibt noch die Frage: Und wie ist das Vorgehen, wenn eine Streckenlast vorhanden ist? Kannst du das Vorgehen "Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen" auch bei Systemen mit Streckenlast anwenden? Eigentlich gehst du nicht wirklich anders mit einer Streckenlast um, als du es tust, wenn du die Lagerreaktionen für das Gesamtsystem bestimmst. Dort fasst du die Streckenlast ja zu einer resultierenden Einzelkraft zusammen. Wenn du nochmal Schritt für Schritt sehen möchtest, wie du die resultierende Einzelkraft bestimmst, schau gerne in der Lektion Grundgrößen \( \rightarrow \) Kraft \( \rightarrow \) Verschiedene Kräfte ganz nah \( \rightarrow \) Streckenlast nach.

Schauen wir uns das an zwei Beispielen an. Lass uns mit dem folgenden System starten, in dem wir das Eigengewicht des Balkens als konstante Streckenlast  modellieren. Der Balken ist am linken Ende mit einem Festlager und am rechten Ende mit einem Loslager gelagert ist.

Balken mit Eigengewicht als konstante Streckenlast

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Wenn du das Vorgehen "Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen" für die Bestimmung der Schnittgrößen anwenden möchtest, musst du zuerst die Lagerreaktionen bestimmen. Zur Erinnerung: Dazu erstellst du ein Ersatzmodell, in dem du die Streckenlast durch die äquivalente resultierende Einzelkraft ersetzt. Dann stellst du die Gleichgewichtsbedingungen für dieses Ersatzmodell auf. 

Bestimmung der Lagerreaktionen bei einem Balken mit konstanter Streckenlast

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Dann setzt du einen Schnitt an einer beliebigen Stelle \(x\) und erzeugst dadurch zwei Teilsysteme. Damit du siehst, dass du mit beiden Teilsystemen weiterrechnen kannst und auf dieselben Ergebnisse kommst, habe ich im Folgenden sowohl das linke als auch das rechte Teilsystem betrachtet.

Du zeichnest am Schnittpunkt \(P\) die Schnittgrößen gemäß der Vorzeichenkonvention für die Schnittufer ein: am positiven Schnittufer zeichnest du \(N(x)\) , \(Q(x)\) und \(M(x)\) in positive Koordinatenrichtungen ein, am negativen Schnittufer in negative Koordinatenrichtungen.

Bevor du die Gleichgewichtsbedingungen für ein Teilsystem aufstellen kannst, musst du erst noch ein Ersatzmodell erstellen, in dem du den Anteil der Streckenlast durch die äquivalente resultierende Einzelkraft ersetzt. Für das linke Teilsystem gilt

\(F_{\mathrm{res}}^{\mathrm{links}}=3 q_0 x \)

da das linke Balkenstück \(x\) lang ist.

Für das rechte Teilsystem gilt 

\(F_{\mathrm{res}}^{\mathrm{rechts}}=3 q_0 (a-x) \)

da das rechte Balkenstück ja gerade \(a-x\) lang ist.

Der Angriffspunkt der beiden resultierenden Kräfte ist ja im Schwerpunkt der jeweiligen Fläche, die von dem Streckenlastanteil überspannt wird. Da es wir hier eine konstante Streckenlast betrachten, es also mit einer Rechteckfläche zu tun haben, ist der Angriffspunkt jeweils in der Mitte des Balkenstücks.

Jetzt kannst du für das Ersatzmodell die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und nach den Schnittgrößen auflösen.

Bestimmung der Schnittgrößen bei einem Balken mit konstanter Streckenlast

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Wie du siehst, kommen erwartungsgemäß beim linken und beim rechten Teilsystem dieselben Ergebnisse für die Schnittgrößen \(Q(x)\) und \(M(x)\) heraus. Wenn du selbst Aufgaben rechnest, musst du natürlich nicht immer mit beiden Teilsystemen rechnen. Ich empfehle dir aber sehr, es für Übungszwecke immer wieder zu tun. Je nachdem, wie die Lagerung im System oder die Belastung ist, gibt es oft ein Teilsystem, mit dem es sich einfacher rechnen lässt. Dazu braucht es dann einfach ein wenig Erfahrung, um das zu sehen.

Jetzt kannst du noch die Verläufe zeichnen. Das sieht dann so aus:

Zeichnen der Verläufe der Schnittgrößen bei einem Balken mit konstanter Streckenlast

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Und auch hier kannst du, wenn du genau hinschaust, schon sehen, dass die einzelnen Verläufe miteinander zusammenhängen. Ein konstanter Verlauf der Streckenlast führt zu einem linearen Verlauf der Querkraft und einem quadratischen Verlauf des Schnittmoments. Und wenn du noch genauer hinschaust, siehst du: Da, wo die Querkraft positive Werte hat, hat der Momentenverlauf eine positive Steigung. Da, wo der Querkraftverlauf negative Werte hat, hat der Momentenverlauf eine negative Steigung. Und konsequenterweise da, wo die Querkraft den Wert Null hat, ist die Steigung im Momentenverlauf Null. Hier liegt in diesem Beispiel das Maximum des Schnittmoments.

Das war unser erstes Beispiel. Hier kommt gleich noch ein weiteres Beispiel, damit du das Vorgehen noch ein weiteres Mal nachvollziehen kannst. 

Diese Mal ist es ein Balken, der am linken Ende fest eingespannt ist und mit einer dreiecksförmigen Streckenlast belastet ist. 

Bestimmung der Lagerreaktionen bei einem Balken mit dreiecksförmiger Streckenlast

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Wenn du jetzt für dieses System die Schnittgrößen bestimmen willst, gehst du ganz ähnlich vor. Allerdings bestimmst du jetzt die resultierende Einzelkraft für das Teil(!)system rechts oder links vom Schnitt. Du führst also als erstes den Schnitt ein und zeichnest ein Freikörperbild des Teilsystems, mit dem du weiter arbeiten möchtest. Für dieses Teilsystem bildest du dann die resultierende Einzelkraft für den Streckenlastanteil, der eben in diesem Teilsystem vorhanden ist.
Wie das konkret geht, siehst du in der folgenden Abbildung.

Auf dem Weg zu den Schnittgrößen: Bestimmung der resultierenden Einzelkraft für das linke Teilsystem

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Und für das Ersatzsystem des linken Teilsystems kannst du jetzt wieder 'wie immer' die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und diese dann nach den Schnittgrößen umstellen.
Das sieht dann so aus:

Bestimmung der Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen des Ersatzsystems

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Bis jetzt haben wir uns Systeme angeschaut, bei denen die Belastung am Balkenende lag oder über den gesamten Balken konstant war. Es waren Systeme mit nur einem Bereich. In den meisten Belastungssituationen ist es ja aber so, dass es entlang des Balkens verschiedene stellen gibt, an denen Lasten wirken. Wie du das bisherige Vorgehen für diese Fälle erweitern musst, zeige ich dir in diesem Abschitt.

Wir wollen uns das generelle Vorgehen auch hier wieder an einem ganz einfachen System anschauen: Einem Balken der Länge \( 2 a \) mit Fest-Los-Lagerung und einer Einzelkraft senkrecht zur Balkenachse in der Mitte und einer Einzelkraft in Balkenrichtung am rechten Ende.

Einfaches System für den Einstieg in die Berechnung von Schnittgrößen

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Wenn du im ersten Schritt die Lager freischneidest, ein Freikörperbild aufzeichnest und die Lagerreaktionen bestimmst, bekommst du das folgende Ergebnis.

Bestimmung der Lagerreaktionen

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Vielleicht musst du für dieses einfache System inzwischen auch schon gar nicht mehr rechnen, sondern 'siehst' das Ergebnis sofort.

So, jetzt aber: Nun wollen wir ins Innere des Balkens hineinschauen und die Funktionen für die Schnittgrößen bestimmen und ihre Verläufe zeichnen.
Wenn wir den Balken irgendwo im Bereich \( 0 < x < a \) durchschneiden, sehen die Freikörperbilder der beiden Teilsysteme so aus:

Schnitt mit Schnittposition \( x \) im Bereich \( 0 < x < a \)

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Wenn du die Gleichgewichtsbedingungen aufstellst siehst du, dass du in diesem Beispiel jeweils eine Gleichung direkt nach einer der gesuchten Schnittgrößen \( N \) , \( Q \) und \( M \) auflösen kannst. Dabei ist es egal, ob du die Gleichungen für das linke oder das rechte Teilsystem aufstellst. Das haben wir ja jetzt schon ein paar Mal gesehen: in der Statik ist auch jedes herausgeschnittene Teilsystem wieder im Gleichgewicht ist, wenn an der Schnittstelle geeignete Reaktionsgrößen berücksichtigt werden und genau das haben wir ja getan.

An der Stelle \( x=a \) passiert etwas im System: dort greift die Kraft \( F \) an. Das bedeutet, dass sich die Qualität des Freikörperbilds ändert. Daher musst du in einem zweiten Schritt betrachten, was passiert, wenn der Schnitt im Bereich \( a < x < 2a \) liegt.
Achtung: Dieser Bereich gibt nur die Lage der Schnittposition an. Die beiden sich ergebenden Teilsysteme des Balkens haben natürlich trotzdem ihre volle Länge.

Schnitt mit Schnittposition \( x \) im Bereich \( a < x < 2a \)

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Wenn du wieder die Gleichgewichtsbedingungen aufstellst und auswertest, kannst du wieder direkt nach den gesuchten Schnittgrößen auflösen.

Du hast also für die beiden unterschiedlichen Bereiche, in denen sich die Schnittposition \( x \) bewegen kann, ohne dass sich die Qualität der Freikörperbilder der Teilsysteme ändert, Funktionen für die drei Schnittgrößen Normalkraft \( N(x) \), Querkraft \( Q(x) \) und Biegemoment \( M(x) \) bekommen. 

Diese Verläufe kannst du in Diagramme zeichnen. Das sieht dann so aus.

Darstellung der Verläufe der Schnittgrößen

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Arbeitsblatt - Teste dein Wissen

Für den Einstieg: Schnittgrößen von hinten betrachtet: nur gucken, nicht anfassen.

Schnittgrößen bestimmen: durch Aufstellen von Gleichgewichtsbedingungen (ohne Streckenlast)

Schnittgrößen bestimmen: durch Aufstellen von Gleichgewichtsbedingungen (mit Streckenlast)

Schnittgrößen bei Rahmen

In den vorangegangenen Abschnitten haben wir ja immer wieder schon mal geschaut, wie die Verläufe von \(Q(x)\) und \(M(x)\) zusammenhängen. Jetzt ist es an der Zeit, diese Zusammenhänge mathematisch exakt anzugeben.  Diese Zusammenhänge zu kennen ist aus verschiedenen Gründen sehr hilfreich. Du kannst sie zum Einen nutzen, um zu kontrollieren, ob deine Berechnungsergebnisse richtig sind. Du kannst sie vor allem aber auch dazu nutzen, die Verläufe von Q(x)\) und \(M(x)\) durch Integration ausgehend von \(q(x)\) zu berechnen. Aber der Reihe nach.

Zwischen dem Verlauf \( q(x) \) der Streckenlast, dem Querkraftverlauf \( Q(x) \) und dem Momentenverlauf \( M(x) \) gibt es einen festen Zusammenhang. Wenn du das Arbeitsblatt aus dem letzten Abschnitt bearbeitet hast, hast du dir das für den Zusammenhang von \( Q(x) \) und \( M(x) \) schon ein stückweit klargemacht.

Ganz allgemein gilt:

Zusammenhang der Schnittgrößen Querkraft \( Q(x) \) und Moment \( M(x) \) und der Streckenlast \( q(x) \)

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Die verschiedenen Verläufe hängen also über die Ableitung zusammen. Schauen wir uns das für zwei Beispiele, die du aus dem vorangegangenen Abschnitt schon kennst, noch einmal an.

Zusammenhang der Schnittgrößen Querkraft \( Q \) und Moment \( M \) und der Streckenlast \( q \) an zwei konkreten Beispielen

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In beiden Systemen ist die Steigung des Querkraftverlaufes über die gesamte Balkenlänge Null. Daran ändert der Sprung auf der Hälfte des Balkens im zweiten System auch nichts. Diese Aussage ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass \( q(x)=0 \) über die gesamte Balkenlänge gelten muss, was stimmt, da in beiden Systemen keine Streckenlast angreift.

Im ersten System ist die Steigung des Momentenverlaufs für alle \( x \)-Werte entlang des Balkens konstant und hat den Wert \( F \). Wie vorausgesagt, stimmt dieser Wert mit dem Wert der Querkraft für alle \( x \) überein. Beim zweiten System ist der Verlauf des Moments linear und zunächst negativ. Die Steigung ist \( -F \). Ab der Mitte steigt der Verlauf mit der vom Betrag her gleichen Steigung wieder an. Die Steigung ist jetzt \( +F \). Die Werte der Querkraft passen zu den Werten der Steigung im Momentenverlauf. Auch hier gilt, dass natürlich Sprünge im Querkraftverlauf auftreten können.

Die Formeln für die Schnittgrößen lassen sich natürlich auch so umstellen, dass du den Querkraft- und den Momentenverlauf aus dem Streckenlastverlauf berechnen kannst. (Für alle die, die in Mathe schon so weit sind: das geschieht durch Trennung der Variablen und anschließendem Integrieren.)

Zusammenhang der Schnittgrößen Querkraft \( Q \) und Moment \( M \) und der Streckenlast \( q \) in Integralform

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Die beiden \( C \)s sind Integrationskonstanten, die aus sogenannten Randbedingungen berechnet werden müssen. Wie wir mit diesen Formeln arbeiten können, um für Balken mit ganz unterschiedlicher Belastung ausgehend von \(q(x)\)  die Verläufe von \(Q(x)\) und \(M(x)\) zu bestimmen, schauen wir uns im kommenden Abschnitt ausführlich an.

Bis jetzt haben wir ja nur die Integrationsbeziehungen verwendet. Vielleicht fragst du dich daher, "Und wofür kann ich die Ableitungsbeziehungen nutzen?". Das zeige ich dir in dem folgenden Video.

Im vorangegangenen Video habe ich dir gezeigt, wie du die Beziehung \(\dfrac{dM}{dx}=Q\) verwenden kannst, um Ergebnisse zu überprüfen. Genau nach dem gleichen Vorgehen kannst du natürlich auch die Beziehung \(\dfrac{dQ}{dx}=-q\) verwenden, um zu schauen, ob die Gleichung, die du für \(Q(x)\) erhalten hast, auch mit dem \(q(x)\) in der Aufgabe zusammen passt.

Und wenn du sehen möchtest, wie du die Formeln aus diesem Abschnitt herleiten kannst, dann schau dir einfach das folgende Video an.

Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene Vorgehensweisen, um Schnittgrößen zu berechnen:

1) Berechnung mittels Freischneiden und Aufstellen von Gleichgewichtsbedingungen

2) Berechnung über die Integrationsbeziehungen zwischen den Schnittgrößen.

In diesem Abschnitt geht es um die zweite Berechnungsmethode, also um das Berechnen von Schnittgrößen über das Verwenden der Integrationsbeziehungen zwischen \(q(x)\), \(Q(x)\) und \(M(x)\).

Zusammenhang der Schnittgrößen Querkraft \( Q \) und Moment \( M \) und der Streckenlast \( q \) in Integralform

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Wir wollen uns zunächst an einem Balken mit "nur" einem Bereich anschauen, wie die Integrationsbeziehungen verwendet werden können, um die Schnittgrößenverläufe zu bestimmen. 

Zusammenhang der Schnittgrößen Querkraft \( Q \) und Moment \( M \) und der Streckenlast \( q \) in Integralform

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Unser Modell ist das Folgende: Ein fest eingespannter Balken mit einer konstanten Streckenlast. Das könnte zum Beispiel ein einfaches Modell eines Flugzeugflügels sein, dessen Belastung rein durch die Auftriebskraft untersucht werden soll.

Modell eines Flugzeugflügels mit Auftriebskraft: Fest eingespannter Balken mit konstanter negativer Streckenlast

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Im ersten Schritt wird die Funktion für die Streckenlast \(q(x)\) aufgestellt. In diesem Modell ist die Streckenlast konstant, negativ und hat den Betrag \(q_0\).

Flugzeugflügel: Streckenlastfunktion

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Ausgehend von der Streckenlastfunktion \(q(x)\) werden in Schritt 2 die Funktionen für die Querkraft \(Q(x)\) und das Moment \(M(x)\) durch Integration bestimmt. Hierbei tauchen die beiden noch unbekannten Integrationskonstanten \( C_1 \) und \( C_2 \) auf. 

Flugzeugflügel: Auswerten der Integrationsbeziehungen für \(Q(x)\) und \(M(x)\)

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Im nächsten Schritt müssen die Werte der beiden Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\) bestimmt werden. Es braucht also zwei zusätzliche Informationen, um diese zwei Unbekannten zu eliminieren. Diese zwei zusätzlichen Informationen kannst du die beschaffen, da du etwas über den Wert der Querkraft und den Wert des Moments bei \(x= \ell\) weißt. Das glaubt du mir nicht? Ich zeige dir, wie man diese sogenannten Randbedingungen, also Aussagen darüber, was die Werte der Schnittgrößen am Rand des Balkens sind, bestimmt.

Du nimmst das Modell, setzt bei \(x= \ell\) einen Schnitt und zeichnest die beiden entstandenen Teilsysteme hin. Das rechte Teilsystem ist dabei ein minikleines Balkenstück, dass die Länge Null hat. zu ihm gehört das negative Schnittufer. Dementsprechend trägst du die Schnittgrößen ein. Und dann stellst du die Gleichgewichtsbedingungen für dieses minikleine Balkenstück auf.

Flugzeugflügel: Bestimmung der Randbedingungen durch Freischneinden und GGB aufstellen

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Du siehst also, dass du durch dieses Vorgehen die Werte für \(Q(\ell)\) und \(M(\ell)\) bestimmen kannst. In diesem System haben sie beide den Wert Null. \(Q(\ell)=0\) und \(M(\ell)=0\) bezeichnet man als Randbedingungen. Das sind deine zwei zusätzlichen Informationen, die du brauchst, um die Werte der beiden Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\) zu bestimmen.

Wenn du jetzt die Randbedingungen \(Q(\ell)=0\) und \(M(\ell)=0\) nimmst, jeweils \(x= \ell\) in die Funktionen für \(Q(x)\) und \(M(x)\)  einsetzt und beide Informationen zusammenführst, kannst du die Werte für \(C_1\) und \(C_2\)  berechnen.

Flugzeugflügel: Auswerten der Randbedingungen zu Bestimmung der Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\)

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Jetzt hast du also die Funktionen für \(Q(x)\) und \(M(x)\) eindeutig für unser Modell des Flugzeugflügels bestimmt und kannst ihren Verlauf zeichnen. Zur Kontrolle kannst du ja noch einmal überprüfen, ob \(\dfrac{dM(x)}{dx} =Q(x)\) auch wirklich gilt.

Flugzeugflügel: Endgültige Funktionen und Verläufe der Schnittgrößen

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Vielleicht ist es dir schon aufgefallen. Wenn du das Vorgehen "Integrationsbeziehungen nutzen" verwendest, um Schnittgrößen zu berechnen, musst du die Lagerreaktionen NICHT vorab berechnen. 

Du kannst jetzt, nachdem die Funktionen für die Schnittgrößen bestimmt hast, die Lagerreaktionen einfach ablesen. Die Schnittgrößen an der Stelle \(x=0\) hängen natürlich mit den Lagerreaktionen zusammen. Wie das mit den Vorzeichen ist, kannst du dir wieder ganz einfach überlegen, indem du bei \(x=0\) einen Schnitt setzt und Gleichgewichtsbedingungen für das linke Teilsystem aufstellst.

Flugzeugflügel: Ablesen der Lagerreaktionen

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\(A_x\) ist natürlich Null, da im gesamten System keine Kraft in \(x-\)Richtung wirkt.

Damit haben wir das Vorgehen "Integrationsbeziehungen nutzen", um die Schnittgrößen zu bestimmen, einmal durchlaufen. Du siehst hoffentlich, dass sich auch dieses Vorgehen in sehr klare Schritte unterteilen lässt. Und es lässt sich auch sehr einfach bei Systemen anwenden, in denen die Streckenlast durch eine beliebige Funktion \(q(x)\) gegeben ist.

Was dir vermutlich neu vorkommt, ist das Aufstellen von Randbedingungen. Auch wenn du hierfür nur sauber an einem Rand des Balkens freischneidest und Gleichgewichtsbedingungen aufstellst, also etwas machst, was du schon sehr oft gemacht hast, braucht es für diesen speziellen Anwendungsfall vielleicht noch ein bisschen Übung. Deswegen habe ich dir noch ein Video zum Thema "Randbedingungen bestimmen" erstellt.

Wenn es dir in dem vorangegangenen Beispiel so vorkam, als wären die Randbedingungen vom Himmel gefallen, dann schau einfach das folgende Video. Dort erkläre ich dir ganz ausführlich, wie du Randbedingungen für verschiedene Belastungssituationen bestimmen kannst. Außerdem zeige ich dir, dass es ein cleveres Vorgehen gibt.

Bis jetzt haben wir Streckenlasten immer nur als Belastung senkrecht zum Balken, also in Querkraftrichtung, gesehen. Kann es Streckenlasten auch IN Balkenrichtung, also in Richtung der Normalkraft geben? Und wenn ja, wie sieht dann das Vorgehen aus? Das erkläre ich dir im folgenden Video.

Arbeitsblatt - Teste dein Wissen

Schnittgrößen meets Integration: Ein Balken, zwei verschiedene Lagerungen

 

Schnittgrößen meets Integration: Zwei Systeme, unterschiedliche Belastungen

 

Randbedingungen bestimmen

 

Randbedingungen auswerten, um Integrationskonstanten zu bestimmen

Bleibt jetzt noch die Frage, wie das Vorgehen ist, wenn ein Balken so belastet ist, dass er für die mathematische Beschreibung in mehrere Bereiche unterteilt werden muss. Wann ein Balken in mehrere Bereiche unterteilt werden muss, hast du ja Abschnitt "Berechnung mittels "Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen"" schon geübt.

Wir schauen uns jetzt an einem einfachen Beispiel, das du von einem Arbeitsblatt schon kennst, wie du bei einem Balken mit zwei Bereichen vorgehen musst, wenn du die Integrationsbeziehungen nutzen willst. Beim folgenden Balken greift in der Mitte eine Einzelkraft in \(z-\)Richtung an. Sie hat Auswirkung auf die Querkraft und damit auch das Moment. Deswegen gilt für diesen Balken:

Bereich I: \(0<x<a\)

Bereich II: \(a<x<2a\)

Abschnittsweise Betrachtung mit Integration: Balken mit zwei Bereichen

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Die ersten Schritte sind genauso wie bei einem Balken mit nur einem Bereich. Du stellst jetzt für jeden Beriech die Streckenlastfunktion auf und integrierst sie hoch.

Abschnittsweise Betrachtung mit Integration: \(q(x)\) und Integrationsbeziehungen pro Bereich

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Damit du die Schnittgrößen aus den unterschiedlichen Bereichen auseinander halten kannst, tragen sie den Index \(I\) bzw. \(II\).

Da in jedem Bereich zwei Integrationskonstanten beim Berechnen der unbestimmten Integrale auftreten, musst du an dieser Stelle noch für die insgesamt vier Integrationskonstanten \(C_1\), \(C_2\) , \(C_3\) und \(C_4\) die Werte bestimmen. Du brauchst also an vier Stellen für \(x\) jeweils eine zusätzliche Information für die Schnittgrößen.

Es ist wieder das Ziel, die Lagerreaktionen nicht zu berechnen. Deswegen kannst du zwei Randbedingungen für die Momentenfunktionen als zusätzliche Informationen und zwei Gleichungen, die die Schnittgrößen am Übergang der beiden Bereiche, also bei \(x=a\)  miteinander in Beziehung setzen, verwenden. Letztere Beziehungen nennt man auch Übergangsbedingungen. Sie ergeben sich ebenfalls durch Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Für die Bestimmung der Randbedingungen schneidest du ein Balkenstück an den beiden Enden des Balkens heraus. Für die Bestimmung der Übergangsbedingungen schneidest du logischerweise ein Balkenstück am Übergang der beiden Bereiche heraus. Beim linken Schnitt hast du dann das negative Schnittufer vorliegen, beim rechten Schnitt das positive Schnittufer.

Abschnittsweise Betrachtung mit Integration: Aufstellen von zwei Rand- und zwei Übergangsbedingungen

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Du hast jetzt also die insgesamt vier zusätzlichen Bedingungen vorliegen, die du brauchst, um die Integrationskonstanten \(C_1\) bis \(C_4\) zu bestimmen. Das ist ein klein bisschen aufwendiger, da sich nicht aus jeder Rand- und Übergangsbedingung gleich der Wert einer Integrationskonstanten berechnen lässt. Du musst dafür die Gleichungen ineinander einsetzen.

Abschnittsweise Betrachtung mit Integration: Auswerten von zwei Rand- und zwei Übergangsbedingungen

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Damit ist das Wesentliche geschafft. Du kannst jetzt noch die vollständigen Funktionen der Schnittgrößen für die beiden Verläufe hinschreiben und die Verläufe in Diagramme einzeichnen.

Natürlich kommt dasselbe heraus, wie bei der abschnittsweisen Betrachtung ohne Integration. Vielleicht findest du den Weg mit Integration \( - \) rein mathematisch betrachtet\( - \) schon ein wenig eleganter. Bei dem hier betrachteten Weg musst du die Lagerreaktionen nicht bestimmen. Dafür musst du Rand- und Übergangsbedingungen aufstellen und auswerten.

Ich wiederhole an dieser Stelle nochmal den Hinweis: insbesondere bei Balken, die durch eine Streckenlast belastet werden, die nicht konstant ist, also z.B. linear oder quadratisch, ist das Vorgehen über die Integrationsbeziehungen deutlich übersichtlicher und schneller.

Um es aber nochmal zu betonen: Beide Wege, die Berechnung von Schnittgrößen über "Freischneiden und Aufstellen von Gleichgewichtsbedingungen" und über "Nutzen der Integrationsbeziehungen" führen zum selben Ergebnis und müssen das auch tun. Die Physik bzw. Mechanik der System ist ja immer dieselbe. Lediglich der mathematische Zugang ist ein anderer.

Arbeitsblatt - Teste dein Wissen

Olympisches Allerlei

 

Schnittgrößen bestimmen: durch Integration der Streckenlastfunktion

 

Balken mit sinusförmiger Streckenlast

 

Rahmen sind aus mehreren Balken zusammengesetzte Strukturen. Damit ist dir vermutlich gleich von Anfang an klar, dass du alles, was du bisher über die Berechnung von Schnittgrößen in einzelnen Balken gelernt hast, anwenden kannst (und musst), wenn du die Schnittgrößenverläufe in Rahmen bestimmen willst.

Ich gehe daher in diesem Kapitel davon aus, dass du für einen einzelnen Balken mit den beiden Berechnungsmethoden für Schnittgrößen \(-\) "Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen" und "Integrationsbeziehungen nutzen"  \(-\) in allen Details gut auskennst. 

In diesem Abschnitt zeige ich dir, wie du dein Wissen auf Rahmen anwenden kannst. Vieles sollte dir also bekannt und vertraut vorkommen.

Lass uns also gleich mit einem konkreten Beispiel starten.

Der Rahmen besteht aus drei Balken, die jeweils die Länge \(\ell\) haben. Der Rahmen ist im Punkt \(A\) mit einem Festlager und im Punkt \(D\) mit einem Loslager gelagert. Er wird wie dargestellt durch eine Streckenlast und zwei Einzelkräfte belastet.

Rahmen bestehend aus drei Balken

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Wie bei jedem anderen mechanischen System kannst du natürlich in einem ersten Schritt das Gesamtsystem, also den Rahmen, von den Lagern freischneiden und die Lagerreaktionen durch Auswerten der Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Ich habe mich entschieden, ein globales Koordinatensystem mit \(x-\)Achse nach rechts und \(z-\)Achse nach unten zu verwenden.

Lagerreaktionen am Rahmen

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Lass uns die Balken von links nach rechts von 1 bis 3 durchnummerieren. Der horizontale Balken mit der Streckenlast ist dann Balken 1. Jeder Balken bekommt sein eigenes balkentypisches Koordinatensystem.  Für Balken 1 bedeutet das "\(x_1-\)Achse entlang des Balkens und \(z_1\)-Achse in \(x_1-\)Richtung laufend nach rechts". Zu besseren Übersicht habe ich Koordinatensystem und auch Schnittgrößen für Balken 1 in dem helleren Blauton eingezeichnet.
Wenn dich jetzt die Schnittgrößen in Balken 1 interessieren, ist es nur logisch, den Balken irgendwo entlang seiner Länge durchzuschneiden. Dann entsteht ein linkes und ein rechtes Teilsystem. An der Schnittstelle musst du natürlich die Schnittgrößen gemäß der üblichen Konvention für die Schnittufer eintragen. Du kannst dich entscheiden, mit dem linken oder dem rechten Teilsystem weiterrechnen und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und diese nach den gesuchten Schnittgrößen \(N(x_1)\), \(Q(x_1)\)  und \(M(x_1)\) umstellen, so, wie du es bei einem einzelnen Balken auch tun würdest. Im rechten Teilsystem "hängt jetzt eben ein bisschen mehr System" am Balkenstück des Balkens 1.

Schnittgrößen in Balken 1

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Für Balken 2 gehst du genauso vor. Balken 2 ist der Balken, der vertikal ausgerichtet ist. Für ihn habe ich magenta als Farbe vorgesehen. Er bekommt im ersten Schritt sein eigenes Koordinatensystem mit \(x_2-\)Achse entlang des Balkens und \(z_2-\)Achse  senkrecht dazu. Der Ursprung liegt im Punkt \(B\). Wenn du magst, kannst du für die weiteren Schritte einfach den Monitor um 90° drehen. Dann hast du einen horizontalen Balken "wie immer".
Du setzt bei einem beliebigen Wert von \(x_2\) einen Schnitt, zeichnest die Schnittgrößen gemäß der üblichen Vorzeichenkonventionen ein, und schon hast zu ein oberes und ein unteres Teilsystem, mit dem du über das Aufstellen von Gleichgewichtsbedingungen die Schnittgrößen \(N(x_2)\), \(Q(x_2)\)  und \(M(x_2)\) bestimmen kannst.

Schnittgrößen in Balken 2

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Balken 3 ist der horizontale Balken zwischen Punkt \(C\) und Punkt \(D\). Er bekommt das Koordinatensystem \(x_3\), \(y_3\) und \(z_3\). Da eine Einzelkraft \(F\) hier in der Mitte des Balkens angreift, muss der Balken also in zwei Bereiche unterteilt werden:
Bereich I: \(0<x_3<\dfrac{\ell}{2}\),
Bereich II: \(\dfrac{\ell}{2}<x_3<\ell\).
Das würdest du bei einem einzelnen Balken auch nicht anders handhaben.

Ansonsten ist das Vorgehen wie immer: Schnitt setzen, Schnittgrößen eintragen, für rechtes oder linkes Teilsystem entscheiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen, nach den Schnittgrößen \(N_{I}(x_3)\), \(Q_{I}(x_3)\)  und \(M_{I}(x_3)\) bzw. \(N_{II}(x_3)\), \(Q_{II}(x_3)\)  und \(M_{II}(x_3)\) auflösen.

Schnittgrößen in Balken 3

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Im folgenden Bild siehst du, für welches Teilsystem ich mich jeweils entschieden habe, um die Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Die Ergebnisse für die Schnittgrößen habe ich bewusst angegeben, ohne die Werte für die Lagerreaktionen einzusetzen, damit du deine eigene Rechnung leichter vergleichen kannst. 
Wenn du mit dem jeweils anderen Teilsystem rechnest, bekommst du dasselbe heraus. Natürlich musst du dann in beiden Versionen die Lagerreaktionen einsetzen, damit du die Ergebnisse vergleichen kannst.

Funktionen der Schnittgrößen in allen drei Balken

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Du siehst also: Es ist gar nicht so viel neu bei der Berechnung von Rahmen. Natürlich ist es erstmal ungewohnt, mit mehreren Koordinatensystemen zu rechnen: Jeder Balken bekommt sein eigenes, so dass du alle dir bereits bekannten Konventionen für die Schnittufer und das Einzeichnen von Schnittgrößen verwenden kannst. Vielleicht hilft es dir am Anfang so wie ich, verschiedene Farben zu verwenden. Und ansonsten heißt es: sauber Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und auswerten. Und wenn du viele Aufgaben gerechnet hast, wirst du immer besser darin werden, zu "sehen"  welches der beiden entstandenen Teilsysteme einfacher zu berechnen ist.
Du hast gemerkt, dass ich mich für Balken 2 für das untere und für Balken 3 jeweils für das rechte Teilsystem entschieden habe. Warum habe ich das getan? In den von mir gewählten Teilsystemen war jeweils NICHT die Streckenlast vorhanden. Ich habe mir so also erspart, die Streckenlast zu einer resultierenden Einzelkraft zusammenfassen zu müssen, um die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen zu müssen. 

Bleibt zum Schluss noch die Frage: Kann man bei Rahmen auch mit dem Verfahren "Integrationsbedingungen auswerten" arbeiten? Die Antwort lautet: Na klar. 
Grundsätzlich ändert sich an dem Vorgehen, dass du von einem einzelnen Balken kennst, nichts. Lediglich bei der Bestimmung der Randbedingungen gibt es etwas kleinen Neues. Das möchte ich dir exemplarisch an Balken 1 demonstrieren.

Wie gewohnt stellst du die Funktion für die Streckenlast \(q(x_1)\) auf und integrierst zwei mal hoch, um auf die Funktionen für \(Q(x_1)\) und \(M(x_1)\) zu kommen. In diesem Prozess treten wie gewohnt zwei Integrationskonstanten auf.

Ebenfalls wie gewohnt, ist aufgrund der Lagerung und Belastungssituation im Punkt \(A\) eine Randbedingung \(M(x_1=0)=0\).
Bei einem einfachen Balken war es ja möglich, eine zweite Randbedingung aufzustellen, ohne dafür Lagerreaktionen zu berechnen. Das ist beim Rahmen nicht mehr möglich. Entweder du verwendest als zweite Randbedingung die Bedingung für \(Q(x_1=0)\). Dann musst du den Wert von \(A_z\) berechnen. Oder du verwendest eine der Randbedingungen am rechten Ende von Balken 1, also im Punkt \(B\). Dann musst du die Lagerreaktionen in Punkt \(B\) vorab bestimmen, da entweder \(B_z\) oder \(M^B\) in der zweiten Randbedingung auftauchen.

Ansatz mit Integration für Balken 1

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Nur bei der Bestimmung der Integrationskonstanten gibt es also eine kleine Veränderung gegenüber der Betrachtung eines einfachen Balkens.

Arbeitsblatt - Teste dein Wissen

Schnittgrößen bei Rahmen

 

Rahmen mit Streckenlast und Einzelkraft