Schnittgrößen: Innere Kräfte und Momente am Balken

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir uns an einem ersten Beispiel damit beschäftigt, wie man die Verläufe von Schnittgrößen, also die Verläufe der Normalkraft \(N(x)\), der Querkraft \(Q(x)\) und des Biegemoments \(M(x)\) berechnet. Dabei haben wir bisher nur ein System betrachtet, bei dem keine Streckenlast vorliegt.

Bleibt noch die Frage: Und wie ist das Vorgehen, wenn eine Streckenlast vorhanden ist? Kannst du das Vorgehen "Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen" auch bei Systemen mit Streckenlast anwenden? Eigentlich gehst du nicht wirklich anders mit einer Streckenlast um, als du es tust, wenn du die Lagerreaktionen für das Gesamtsystem bestimmst. Dort fasst du die Streckenlast ja zu einer resultierenden Einzelkraft zusammen. Wenn du nochmal Schritt für Schritt sehen möchtest, wie du die resultierende Einzelkraft bestimmst, schau gerne in der Lektion Grundgrößen \( \rightarrow \) Kraft \( \rightarrow \) Verschiedene Kräfte ganz nah \( \rightarrow \) Streckenlast nach.

Schauen wir uns das an zwei Beispielen an. Lass uns mit dem folgenden System starten, in dem wir das Eigengewicht des Balkens als konstante Streckenlast  modellieren. Der Balken ist am linken Ende mit einem Festlager und am rechten Ende mit einem Loslager gelagert ist.

Balken mit Eigengewicht als konstante Streckenlast

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Wenn du das Vorgehen "Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen" für die Bestimmung der Schnittgrößen anwenden möchtest, musst du zuerst die Lagerreaktionen bestimmen. Zur Erinnerung: Dazu erstellst du ein Ersatzmodell, in dem du die Streckenlast durch die äquivalente resultierende Einzelkraft ersetzt. Dann stellst du die Gleichgewichtsbedingungen für dieses Ersatzmodell auf. 

Bestimmung der Lagerreaktionen bei einem Balken mit konstanter Streckenlast

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Dann setzt du einen Schnitt an einer beliebigen Stelle \(x\) und erzeugst dadurch zwei Teilsysteme. Damit du siehst, dass du mit beiden Teilsystemen weiterrechnen kannst und auf dieselben Ergebnisse kommst, habe ich im Folgenden sowohl das linke als auch das rechte Teilsystem betrachtet.

Du zeichnest am Schnittpunkt \(P\) die Schnittgrößen gemäß der Vorzeichenkonvention für die Schnittufer ein: am positiven Schnittufer zeichnest du \(N(x)\) , \(Q(x)\) und \(M(x)\) in positive Koordinatenrichtungen ein, am negativen Schnittufer in negative Koordinatenrichtungen.

Bevor du die Gleichgewichtsbedingungen für ein Teilsystem aufstellen kannst, musst du erst noch ein Ersatzmodell erstellen, in dem du den Anteil der Streckenlast durch die äquivalente resultierende Einzelkraft ersetzt. Für das linke Teilsystem gilt

\(F_{\mathrm{res}}^{\mathrm{links}}=3 q_0 x \)

da das linke Balkenstück \(x\) lang ist.

Für das rechte Teilsystem gilt 

\(F_{\mathrm{res}}^{\mathrm{rechts}}=3 q_0 (a-x) \)

da das rechte Balkenstück ja gerade \(a-x\) lang ist.

Der Angriffspunkt der beiden resultierenden Kräfte ist ja im Schwerpunkt der jeweiligen Fläche, die von dem Streckenlastanteil überspannt wird. Da es wir hier eine konstante Streckenlast betrachten, es also mit einer Rechteckfläche zu tun haben, ist der Angriffspunkt jeweils in der Mitte des Balkenstücks.

Jetzt kannst du für das Ersatzmodell die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und nach den Schnittgrößen auflösen.

Bestimmung der Schnittgrößen bei einem Balken mit konstanter Streckenlast

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Wie du siehst, kommen erwartungsgemäß beim linken und beim rechten Teilsystem dieselben Ergebnisse für die Schnittgrößen \(Q(x)\) und \(M(x)\) heraus. Wenn du selbst Aufgaben rechnest, musst du natürlich nicht immer mit beiden Teilsystemen rechnen. Ich empfehle dir aber sehr, es für Übungszwecke immer wieder zu tun. Je nachdem, wie die Lagerung im System oder die Belastung ist, gibt es oft ein Teilsystem, mit dem es sich einfacher rechnen lässt. Dazu braucht es dann einfach ein wenig Erfahrung, um das zu sehen.

Jetzt kannst du noch die Verläufe zeichnen. Das sieht dann so aus:

Zeichnen der Verläufe der Schnittgrößen bei einem Balken mit konstanter Streckenlast

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Und auch hier kannst du, wenn du genau hinschaust, schon sehen, dass die einzelnen Verläufe miteinander zusammenhängen. Ein konstanter Verlauf der Streckenlast führt zu einem linearen Verlauf der Querkraft und einem quadratischen Verlauf des Schnittmoments. Und wenn du noch genauer hinschaust, siehst du: Da, wo die Querkraft positive Werte hat, hat der Momentenverlauf eine positive Steigung. Da, wo der Querkraftverlauf negative Werte hat, hat der Momentenverlauf eine negative Steigung. Und konsequenterweise da, wo die Querkraft den Wert Null hat, ist die Steigung im Momentenverlauf Null. Hier liegt in diesem Beispiel das Maximum des Schnittmoments.

Das war unser erstes Beispiel. Hier kommt gleich noch ein weiteres Beispiel, damit du das Vorgehen noch ein weiteres Mal nachvollziehen kannst. 

Diese Mal ist es ein Balken, der am linken Ende fest eingespannt ist und mit einer dreiecksförmigen Streckenlast belastet ist. 

Bestimmung der Lagerreaktionen bei einem Balken mit dreiecksförmiger Streckenlast

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Wenn du jetzt für dieses System die Schnittgrößen bestimmen willst, gehst du ganz ähnlich vor. Allerdings bestimmst du jetzt die resultierende Einzelkraft für das Teil(!)system rechts oder links vom Schnitt. Du führst also als erstes den Schnitt ein und zeichnest ein Freikörperbild des Teilsystems, mit dem du weiter arbeiten möchtest. Für dieses Teilsystem bildest du dann die resultierende Einzelkraft für den Streckenlastanteil, der eben in diesem Teilsystem vorhanden ist.
Wie das konkret geht, siehst du in der folgenden Abbildung.

Auf dem Weg zu den Schnittgrößen: Bestimmung der resultierenden Einzelkraft für das linke Teilsystem

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Und für das Ersatzsystem des linken Teilsystems kannst du jetzt wieder 'wie immer' die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und diese dann nach den Schnittgrößen umstellen.
Das sieht dann so aus:

Bestimmung der Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen des Ersatzsystems

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