Schnittgrößen: Innere Kräfte und Momente am Balken
Schnittgrößen: Innere Kräfte und Momente am Balken
5. Berechnung mittels "Integrationsbeziehungen nutzen"
5.1. Systeme mit einem Bereich
Wir wollen uns zunächst an einem Balken mit "nur" einem Bereich anschauen, wie die Integrationsbeziehungen verwendet werden können, um die Schnittgrößenverläufe zu bestimmen.
Zusammenhang der Schnittgrößen Querkraft \( Q \) und Moment \( M \) und der Streckenlast \( q \) in Integralform
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Unser Modell ist das Folgende: Ein fest eingespannter Balken mit einer konstanten Streckenlast. Das könnte zum Beispiel ein einfaches Modell eines Flugzeugflügels sein, dessen Belastung rein durch die Auftriebskraft untersucht werden soll.
Modell eines Flugzeugflügels mit Auftriebskraft: Fest eingespannter Balken mit konstanter negativer Streckenlast
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Im ersten Schritt wird die Funktion für die Streckenlast \(q(x)\) aufgestellt. In diesem Modell ist die Streckenlast konstant, negativ und hat den Betrag \(q_0\).
Flugzeugflügel: Streckenlastfunktion
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Ausgehend von der Streckenlastfunktion \(q(x)\) werden in Schritt 2 die Funktionen für die Querkraft \(Q(x)\) und das Moment \(M(x)\) durch Integration bestimmt. Hierbei tauchen die beiden noch unbekannten Integrationskonstanten \( C_1 \) und \( C_2 \) auf.
Flugzeugflügel: Auswerten der Integrationsbeziehungen für \(Q(x)\) und \(M(x)\)
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Im nächsten Schritt müssen die Werte der beiden Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\) bestimmt werden. Es braucht also zwei zusätzliche Informationen, um diese zwei Unbekannten zu eliminieren. Diese zwei zusätzlichen Informationen kannst du die beschaffen, da du etwas über den Wert der Querkraft und den Wert des Moments bei \(x= \ell\) weißt. Das glaubt du mir nicht? Ich zeige dir, wie man diese sogenannten Randbedingungen, also Aussagen darüber, was die Werte der Schnittgrößen am Rand des Balkens sind, bestimmt.
Du nimmst das Modell, setzt bei \(x= \ell\) einen Schnitt und zeichnest die beiden entstandenen Teilsysteme hin. Das rechte Teilsystem ist dabei ein minikleines Balkenstück, dass die Länge Null hat. zu ihm gehört das negative Schnittufer. Dementsprechend trägst du die Schnittgrößen ein. Und dann stellst du die Gleichgewichtsbedingungen für dieses minikleine Balkenstück auf.
Flugzeugflügel: Bestimmung der Randbedingungen durch Freischneinden und GGB aufstellen
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Du siehst also, dass du durch dieses Vorgehen die Werte für \(Q(\ell)\) und \(M(\ell)\) bestimmen kannst. In diesem System haben sie beide den Wert Null. \(Q(\ell)=0\) und \(M(\ell)=0\) bezeichnet man als Randbedingungen. Das sind deine zwei zusätzlichen Informationen, die du brauchst, um die Werte der beiden Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\) zu bestimmen.
Wenn du jetzt die Randbedingungen \(Q(\ell)=0\) und \(M(\ell)=0\) nimmst, jeweils \(x= \ell\) in die Funktionen für \(Q(x)\) und \(M(x)\) einsetzt und beide Informationen zusammenführst, kannst du die Werte für \(C_1\) und \(C_2\) berechnen.
Flugzeugflügel: Auswerten der Randbedingungen zu Bestimmung der Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\)
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Jetzt hast du also die Funktionen für \(Q(x)\) und \(M(x)\) eindeutig für unser Modell des Flugzeugflügels bestimmt und kannst ihren Verlauf zeichnen. Zur Kontrolle kannst du ja noch einmal überprüfen, ob \(\dfrac{dM(x)}{dx} =Q(x)\) auch wirklich gilt.
Flugzeugflügel: Endgültige Funktionen und Verläufe der Schnittgrößen
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Vielleicht ist es dir schon aufgefallen. Wenn du das Vorgehen "Integrationsbeziehungen nutzen" verwendest, um Schnittgrößen zu berechnen, musst du die Lagerreaktionen NICHT vorab berechnen.
Du kannst jetzt, nachdem die Funktionen für die Schnittgrößen bestimmt hast, die Lagerreaktionen einfach ablesen. Die Schnittgrößen an der Stelle \(x=0\) hängen natürlich mit den Lagerreaktionen zusammen. Wie das mit den Vorzeichen ist, kannst du dir wieder ganz einfach überlegen, indem du bei \(x=0\) einen Schnitt setzt und Gleichgewichtsbedingungen für das linke Teilsystem aufstellst.
Flugzeugflügel: Ablesen der Lagerreaktionen
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\(A_x\) ist natürlich Null, da im gesamten System keine Kraft in \(x-\)Richtung wirkt.
Damit haben wir das Vorgehen "Integrationsbeziehungen nutzen", um die Schnittgrößen zu bestimmen, einmal durchlaufen. Du siehst hoffentlich, dass sich auch dieses Vorgehen in sehr klare Schritte unterteilen lässt. Und es lässt sich auch sehr einfach bei Systemen anwenden, in denen die Streckenlast durch eine beliebige Funktion \(q(x)\) gegeben ist.
Was dir vermutlich neu vorkommt, ist das Aufstellen von Randbedingungen. Auch wenn du hierfür nur sauber an einem Rand des Balkens freischneidest und Gleichgewichtsbedingungen aufstellst, also etwas machst, was du schon sehr oft gemacht hast, braucht es für diesen speziellen Anwendungsfall vielleicht noch ein bisschen Übung. Deswegen habe ich dir noch ein Video zum Thema "Randbedingungen bestimmen" erstellt.
Wenn es dir in dem vorangegangenen Beispiel so vorkam, als wären die Randbedingungen vom Himmel gefallen, dann schau einfach das folgende Video. Dort erkläre ich dir ganz ausführlich, wie du Randbedingungen für verschiedene Belastungssituationen bestimmen kannst. Außerdem zeige ich dir, dass es ein cleveres Vorgehen gibt.
Bis jetzt haben wir Streckenlasten immer nur als Belastung senkrecht zum Balken, also in Querkraftrichtung, gesehen. Kann es Streckenlasten auch IN Balkenrichtung, also in Richtung der Normalkraft geben? Und wenn ja, wie sieht dann das Vorgehen aus? Das erkläre ich dir im folgenden Video.
Schnittgrößen meets Integration: Ein Balken, zwei verschiedene Lagerungen