Schnittgrößen: Innere Kräfte und Momente am Balken
Schnittgrößen: Innere Kräfte und Momente am Balken
3. Berechnung mittels "Freischneiden und Aufstellen von GGB"
3.3. Systeme mit mehreren Bereichen
Bis jetzt haben wir uns Systeme angeschaut, bei denen die Belastung am Balkenende lag oder über den gesamten Balken konstant war. Es waren Systeme mit nur einem Bereich. In den meisten Belastungssituationen ist es ja aber so, dass es entlang des Balkens verschiedene stellen gibt, an denen Lasten wirken. Wie du das bisherige Vorgehen für diese Fälle erweitern musst, zeige ich dir in diesem Abschitt.
Wir wollen uns das generelle Vorgehen auch hier wieder an einem ganz einfachen System anschauen: Einem Balken der Länge \( 2 a \) mit Fest-Los-Lagerung und einer Einzelkraft senkrecht zur Balkenachse in der Mitte und einer Einzelkraft in Balkenrichtung am rechten Ende.
Einfaches System für den Einstieg in die Berechnung von Schnittgrößen
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Wenn du im ersten Schritt die Lager freischneidest, ein Freikörperbild aufzeichnest und die Lagerreaktionen bestimmst, bekommst du das folgende Ergebnis.
Bestimmung der Lagerreaktionen
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Vielleicht musst du für dieses einfache System inzwischen auch schon gar nicht mehr rechnen, sondern 'siehst' das Ergebnis sofort.
So, jetzt aber: Nun wollen wir ins Innere des Balkens hineinschauen und die Funktionen für die Schnittgrößen bestimmen und ihre Verläufe zeichnen.
Wenn wir den Balken irgendwo im Bereich \( 0 < x < a \) durchschneiden, sehen die Freikörperbilder der beiden Teilsysteme so aus:
Schnitt mit Schnittposition \( x \) im Bereich \( 0 < x < a \)
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Wenn du die Gleichgewichtsbedingungen aufstellst siehst du, dass du in diesem Beispiel jeweils eine Gleichung direkt nach einer der gesuchten Schnittgrößen \( N \) , \( Q \) und \( M \) auflösen kannst. Dabei ist es egal, ob du die Gleichungen für das linke oder das rechte Teilsystem aufstellst. Das haben wir ja jetzt schon ein paar Mal gesehen: in der Statik ist auch jedes herausgeschnittene Teilsystem wieder im Gleichgewicht ist, wenn an der Schnittstelle geeignete Reaktionsgrößen berücksichtigt werden und genau das haben wir ja getan.
An der Stelle \( x=a \) passiert etwas im System: dort greift die Kraft \( F \) an. Das bedeutet, dass sich die Qualität des Freikörperbilds ändert. Daher musst du in einem zweiten Schritt betrachten, was passiert, wenn der Schnitt im Bereich \( a < x < 2a \) liegt.
Achtung: Dieser Bereich gibt nur die Lage der Schnittposition an. Die beiden sich ergebenden Teilsysteme des Balkens haben natürlich trotzdem ihre volle Länge.
Schnitt mit Schnittposition \( x \) im Bereich \( a < x < 2a \)
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Wenn du wieder die Gleichgewichtsbedingungen aufstellst und auswertest, kannst du wieder direkt nach den gesuchten Schnittgrößen auflösen.
Du hast also für die beiden unterschiedlichen Bereiche, in denen sich die Schnittposition \( x \) bewegen kann, ohne dass sich die Qualität der Freikörperbilder der Teilsysteme ändert, Funktionen für die drei Schnittgrößen Normalkraft \( N(x) \), Querkraft \( Q(x) \) und Biegemoment \( M(x) \) bekommen.
Diese Verläufe kannst du in Diagramme zeichnen. Das sieht dann so aus.
Darstellung der Verläufe der Schnittgrößen
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Es gibt verschiedene Arten, wie du die Verläufe darstellen kannst. Einige Berufszweige und damit auch Lehrbücher befürworten es, die Ordinate der Diagramme 'nach oben' also entgegen der positiven \( z \)-Richtung einzuzeichnen. Andere zeichnen die Achsen 'nach unten' also in positive \( z \)- Richtung ein. Auch eine Mischform kommt vor.
Deswegen habe ich dir in der vorherigen Abbildung zwei verschiedene Varianten aufgezeichnet.
Auch hier kannst du wieder für dich schon einmal schauen, welche Zusammenhänge du zwischen den Verläufen von \(Q(x)\) und \(M(x)\) siehst. ... Genau, die Steigung des Momentenverlaufs entspricht gerade dem Wert der Querkraft an der entsprechenden Stelle. Genau auf diese Art der Zusammenhänge und die sich daraus ergebenden Konsequenzen für die Berechnung von Schnittgrößen gehen wir im Abschnitt "Berechnung mittels Integration/Ableitung" weiter ein.
Was an diesem Beispiel deutlich geworden sein sollte: je nach Lagerungs- und Belastungssituation musst du den Balken in verschiedenen Bereiche einteilen, da sich für unterschiedliche Wertebereiche von \(x\) unterschiedliche Funktionen für die Schnittgrößen ergeben. Einen neuen Bereich braucht es immer dann, wenn sich in der Richtung, die für die Schnittgröße, die du gerade betrachtest, etwas ändert. Wenn eine Einzelkraft an der Stelle \(x=b\) in \(x-\)Richtung angreift, dann fängt ab da ein neuer Abschnitt an, weil sich ein Sprung im Normalkraftverlauf ergibt. Genauso ist es mit Änderungen in \(z-\)Richtung. Sie wirken sich auf \(Q(x\) und \(M(x\) aus. Und wenn ein Einzelmoment angreift, dann braucht es ab dieser Stelle einen neuen Bereich für die Betrachtung von \(M(x\), da dieses Einzelmoment einen Sprung im Momentenverlauf bewirkt.
Ich habe dir zum Thema "Wie finde ich Bereiche?" auch noch ein Video erstellt. Und generell gilt für das Thema Schnittgrößen: Übung macht den Meister. Es ist ein Thema, bei dem verschiedene Aspekte der Mechanik zusammenkommen. Du wirst merken, dass dir viele Dinge nach und nach selbstverständlich vorkommen, je mehr Aufgaben du gerechnet hast.
Für den Einstieg: Schnittgrößen von hinten betrachtet: nur gucken, nicht anfassen.