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2.5 Statistik

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2.4 Vektorisierung
Übersicht Kapitel 3: Neuronale Netze

  • 2.5 Statistik

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      Statistik

      Auch für die Statistik liefert NumPy bereits einige hilfreiche Funktionen, sodass wir diese nicht für jedes Programm selbst schreiben müssen. Die ersten haben wir bereits im letzten Kapitel kurz vorgestellt.

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      Random

      Um die Funktionen zur Statistik testen zu können, beschäftigen wir uns vorerst mit der zufälligen Erstellung von Daten. Die für uns wichtigsten Funktionen sind die folgenden:
      np.random.normal(): Generiert normalverteilte (Gauß'sche Verteilung) Zufallszahlen. Die Parameter sind der Mittelwert, die Standartabweichung und die Größe des Arrays.
      np.random.uniform(): Generiert gleich verteilte (uniform) Zufallszahlen in einem Intervall. Die Parameter sind der untere Rand (inklusiv), der obere Rand (exklusiv) und die Größe des Arrays.
      np.random.choice(): Generiert Zufallszahlen aus einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Parameter sind das Array der Elemente, die Größe des ausgegebenen Arrays, ein Boolean der entscheidet, ob mit oder ohne zurücklegen gezogen wird und die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Elemente.

      Es folgen ein paar Beispiele:

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      import numpy as np
# Normalverteilung
normal = np.random.normal(10, 5, 5) #Erstellt ein Array mit Mittelwert 10, Standarabweichung 5 und 5 Werten
print("Normalverteilung: ", normal)

# Uniformverteilung
uniform = np.random.uniform(0, 10, 5)
print("\nUniformverteilung: ", uniform)

# Gegebene Wahrscheinlichkeiten
given = np.random.choice(np.array((1,2,3,4)), 10, True, np.array((0.1, 0.2, 0.3, 0.4))) # ACHTUNG: Summe der Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben
print("\nGegebene Wahrscheinlichkeiten: ", given)
for i in range(1,5):
    print("Anzahl ",i,": ", np.count_nonzero(given==i))
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      Summe

      Mit der sum() Funktion lässt sich die Summe über alle Elemente eines Arrays bilden. Dazu bekommt die Funktion das Array übergeben, über welches die Summe gebildet werden soll.

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      import numpy as np
arr = np.random.randint(1,10,(9))
print(arr,"\nSumme des Arrays:", np.sum(arr),"\n") # Summe aller Elemente des Arrays (1D)

arr2 = np.random.randint(1,10,(3,3))
print(arr2,"\nSumme des Arrays:", np.sum(arr2))  # Summe aller Elemente des Arrays (2D)
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      Wenn statt der Summe über das gesamte Array nur die Summe über eine Dimension berechnet werden soll, kann der Funktion der zusätzliche Parameter axis=x übergeben werden. Das x bestimmt dann die Dimension, über welche die Summation durchgeführt werden soll.

      Bei der Summation über die 1. Dimension werden für den Eintrag an der Stelle [x][y] die Elemente [0][x][y], [1][x][y] und [2][x][y] aufaddiert. Da die Summe entlang der Z-Achse gebildet wurde, hat diese nun die Länge eins und das Array kann als Zweidimensionales Array dargestellt werden.

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      arr = np.reshape(np.array(list(range(27))),(3,3,3))
print("Array: \n")
print(arr,"\n")
print("Summation über die 1. Dimension (Z-Achse) ([0][0] = 0+9+18):\n")
print(np.sum(arr, axis=0),"\n")
print("Summation über die 2. Dimension (Y-Achse) ([0][0] = 0+3+6):\n")
print(np.sum(arr, axis=1),"\n")
print("Summation über die 3. Dimension (X-Achse) ([0][0] = 0+1+2):\n")
print(np.sum(arr, axis=2),"\n")
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      Sortierung

      Soll ein Array sortiert werden, kann dazu die np.sort() Funktion verwendet werden. Diese gibt das eine sortierte Kopie des übergebenen Arrays zurück. Alternativ kann auch .sort() verwendet werden. Dabei wird das ursprüngliche Array sortiert.

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      arr = np.random.randint(1,10,(5))
print(arr, "\n", np.sort(arr))

# Alternativ:
print("\n",arr)
arr.sort()
print(arr)
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      Übung (Mittelwert)

      Da wir als Nächstes den Mittelwert kennenlernen werden, wollen wir nun eine Funktion schreiben, die uns den Mittelwert eines übergebenen Arrays berechnet und zurückgibt. Dabei soll immer der Mittelwert des gesamten Arrays zurückgeben werden (nicht entlang einer Achse).

      Der Mittelwert berechnet sich aus der Summe aller Werte des Arrays, geteilt durch die Anzahl der Werte im Array:
      $\bar{x} = \frac{\sum_{i=0}^{n-1}x_i}{n}$

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      Mittelwert und Median

      Damit wir die Funktion nicht selbst implementieren müssen, diese auf mehrdimensionale Arrays und entlang verschiedener Achsen (wie bei der Summenfunktion) anwenden können, lernen wir nun die in NumPy integrierten Funktionen np.mean() und np.median() kennen. Du kannst damit deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben vergleichen:

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      arr = np.random.uniform(1,100,(np.random.randint(5,11)))
print("Numpy Mittelwert =", np.mean(arr), "\ndein Mittelwert = ", meanfunc(arr), "\nNumpy Median =", np.median(arr), "\ndein Median = ", medianfunc(arr))
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      Standardabweichung

      Auch für die Standardabweichung gibt es eine eigene Numpy Funktion. Diese kann über np.std() aufgerufen werden. Die Formel zur Berechnung lautet: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=0}^{n-1}(x_i - \bar{x})^2}{n}} $

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      mean = 12
std = 5
size = 10000000
arr = np.random.normal(mean, std, size)

print("Standardabweichung: ",  np.std(arr),"\nMittelwert: ", np.mean(arr))
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      Unique

      Die unique() Funktion wird dazu verwendet eindeutige Werte aus einem Array zu extrahieren. Im Ergebnisarray stehen dann alle Werte des Ursprungsarrays, aber nur genau ein Mal. Zudem wird das Array sortiert.
      Wir betrachten das folgende Beispiel:

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      # Beispiel-Daten
arr = np.array([7, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4])

# Eindeutige Werte extrahieren
unique_values = np.unique(arr)

print("Eindeutige Werte im Array:", unique_values)
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      Histogramme

      In einem Histogramm lässt sich die Häufigkeitsverteilung der Daten aus einem Array darstellen. Die Daten werden dabei in diskrete Intervalle (Bins) aufgeteilt. In den Bins wird die Häufigkeit der Daten gezählt, die in den jeweiligen Bin fallen. Das Ergebnis ist ein Array mit den Häufigkeiten der Datenpunkte und den Begrenzungen der einzelnen Bins.
      Die Funktion np.histogram() erwartet Array mit den Daten als Argument. Zusätzlich kann die Anzahl der Bins angegeben werden. Wird sie nicht angegeben, werden diese automatisch festgelegt.

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      # Beispiel-Daten
data = np.random.normal(0,1,1000)

# Histogramm erstellen
hist, bins = np.histogram(data,10)

print(hist,"\n", bins)

# Histogramm plotten
plt.hist(data, bins)
plt.show()
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      Alternativ können die Bins auch selbst festgelegt werden. Dazu wird der np.histogram() Funktion erst das Array mit den Daten und dann ein Array mit den jeweiligen Grenzwerten der Arrays übergeben. Diese können dann auch unterschiedlich groß sein:

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      noten = np.random.randint(0,16,10)
print("Noten", noten)

# Erstellung eines Histogramms mit verschieden großen Bins: 0-5, 5-16 (Bestanden, Nicht Bestanden)
hist, bins = np.histogram(noten, np.array((0,5,16)))


print("Bins: ", bins)
plt.hist(noten, bins)
plt.show()
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