Schnittgrößen: Innere Kräfte und Momente am Balken

In den vorangegangenen Abschnitten haben wir ja immer wieder schon mal geschaut, wie die Verläufe von \(Q(x)\) und \(M(x)\) zusammenhängen. Jetzt ist es an der Zeit, diese Zusammenhänge mathematisch exakt anzugeben.  Diese Zusammenhänge zu kennen ist aus verschiedenen Gründen sehr hilfreich. Du kannst sie zum Einen nutzen, um zu kontrollieren, ob deine Berechnungsergebnisse richtig sind. Du kannst sie vor allem aber auch dazu nutzen, die Verläufe von Q(x)\) und \(M(x)\) durch Integration ausgehend von \(q(x)\) zu berechnen. Aber der Reihe nach.

Zwischen dem Verlauf \( q(x) \) der Streckenlast, dem Querkraftverlauf \( Q(x) \) und dem Momentenverlauf \( M(x) \) gibt es einen festen Zusammenhang. Wenn du das Arbeitsblatt aus dem letzten Abschnitt bearbeitet hast, hast du dir das für den Zusammenhang von \( Q(x) \) und \( M(x) \) schon ein stückweit klargemacht.

Ganz allgemein gilt:

Zusammenhang der Schnittgrößen Querkraft \( Q(x) \) und Moment \( M(x) \) und der Streckenlast \( q(x) \)

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Die verschiedenen Verläufe hängen also über die Ableitung zusammen. Schauen wir uns das für zwei Beispiele, die du aus dem vorangegangenen Abschnitt schon kennst, noch einmal an.

Zusammenhang der Schnittgrößen Querkraft \( Q \) und Moment \( M \) und der Streckenlast \( q \) an zwei konkreten Beispielen

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In beiden Systemen ist die Steigung des Querkraftverlaufes über die gesamte Balkenlänge Null. Daran ändert der Sprung auf der Hälfte des Balkens im zweiten System auch nichts. Diese Aussage ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass \( q(x)=0 \) über die gesamte Balkenlänge gelten muss, was stimmt, da in beiden Systemen keine Streckenlast angreift.

Im ersten System ist die Steigung des Momentenverlaufs für alle \( x \)-Werte entlang des Balkens konstant und hat den Wert \( F \). Wie vorausgesagt, stimmt dieser Wert mit dem Wert der Querkraft für alle \( x \) überein. Beim zweiten System ist der Verlauf des Moments linear und zunächst negativ. Die Steigung ist \( -F \). Ab der Mitte steigt der Verlauf mit der vom Betrag her gleichen Steigung wieder an. Die Steigung ist jetzt \( +F \). Die Werte der Querkraft passen zu den Werten der Steigung im Momentenverlauf. Auch hier gilt, dass natürlich Sprünge im Querkraftverlauf auftreten können.

Die Formeln für die Schnittgrößen lassen sich natürlich auch so umstellen, dass du den Querkraft- und den Momentenverlauf aus dem Streckenlastverlauf berechnen kannst. (Für alle die, die in Mathe schon so weit sind: das geschieht durch Trennung der Variablen und anschließendem Integrieren.)

Zusammenhang der Schnittgrößen Querkraft \( Q \) und Moment \( M \) und der Streckenlast \( q \) in Integralform

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Die beiden \( C \)s sind Integrationskonstanten, die aus sogenannten Randbedingungen berechnet werden müssen. Wie wir mit diesen Formeln arbeiten können, um für Balken mit ganz unterschiedlicher Belastung ausgehend von \(q(x)\)  die Verläufe von \(Q(x)\) und \(M(x)\) zu bestimmen, schauen wir uns im kommenden Abschnitt ausführlich an.

Bis jetzt haben wir ja nur die Integrationsbeziehungen verwendet. Vielleicht fragst du dich daher, "Und wofür kann ich die Ableitungsbeziehungen nutzen?". Das zeige ich dir in dem folgenden Video.

Im vorangegangenen Video habe ich dir gezeigt, wie du die Beziehung \(\dfrac{dM}{dx}=Q\) verwenden kannst, um Ergebnisse zu überprüfen. Genau nach dem gleichen Vorgehen kannst du natürlich auch die Beziehung \(\dfrac{dQ}{dx}=-q\) verwenden, um zu schauen, ob die Gleichung, die du für \(Q(x)\) erhalten hast, auch mit dem \(q(x)\) in der Aufgabe zusammen passt.

Und wenn du sehen möchtest, wie du die Formeln aus diesem Abschnitt herleiten kannst, dann schau dir einfach das folgende Video an.