Schnittgrößen: Innere Kräfte und Momente am Balken

Bleibt jetzt noch die Frage, wie das Vorgehen ist, wenn ein Balken so belastet ist, dass er für die mathematische Beschreibung in mehrere Bereiche unterteilt werden muss. Wann ein Balken in mehrere Bereiche unterteilt werden muss, hast du ja Abschnitt "Berechnung mittels "Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen"" schon geübt.

Wir schauen uns jetzt an einem einfachen Beispiel, das du von einem Arbeitsblatt schon kennst, wie du bei einem Balken mit zwei Bereichen vorgehen musst, wenn du die Integrationsbeziehungen nutzen willst. Beim folgenden Balken greift in der Mitte eine Einzelkraft in \(z-\)Richtung an. Sie hat Auswirkung auf die Querkraft und damit auch das Moment. Deswegen gilt für diesen Balken:

Bereich I: \(0<x<a\)

Bereich II: \(a<x<2a\)

Abschnittsweise Betrachtung mit Integration: Balken mit zwei Bereichen

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Die ersten Schritte sind genauso wie bei einem Balken mit nur einem Bereich. Du stellst jetzt für jeden Beriech die Streckenlastfunktion auf und integrierst sie hoch.

Abschnittsweise Betrachtung mit Integration: \(q(x)\) und Integrationsbeziehungen pro Bereich

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Damit du die Schnittgrößen aus den unterschiedlichen Bereichen auseinander halten kannst, tragen sie den Index \(I\) bzw. \(II\).

Da in jedem Bereich zwei Integrationskonstanten beim Berechnen der unbestimmten Integrale auftreten, musst du an dieser Stelle noch für die insgesamt vier Integrationskonstanten \(C_1\), \(C_2\) , \(C_3\) und \(C_4\) die Werte bestimmen. Du brauchst also an vier Stellen für \(x\) jeweils eine zusätzliche Information für die Schnittgrößen.

Es ist wieder das Ziel, die Lagerreaktionen nicht zu berechnen. Deswegen kannst du zwei Randbedingungen für die Momentenfunktionen als zusätzliche Informationen und zwei Gleichungen, die die Schnittgrößen am Übergang der beiden Bereiche, also bei \(x=a\)  miteinander in Beziehung setzen, verwenden. Letztere Beziehungen nennt man auch Übergangsbedingungen. Sie ergeben sich ebenfalls durch Freischneiden und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Für die Bestimmung der Randbedingungen schneidest du ein Balkenstück an den beiden Enden des Balkens heraus. Für die Bestimmung der Übergangsbedingungen schneidest du logischerweise ein Balkenstück am Übergang der beiden Bereiche heraus. Beim linken Schnitt hast du dann das negative Schnittufer vorliegen, beim rechten Schnitt das positive Schnittufer.

Abschnittsweise Betrachtung mit Integration: Aufstellen von zwei Rand- und zwei Übergangsbedingungen

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Du hast jetzt also die insgesamt vier zusätzlichen Bedingungen vorliegen, die du brauchst, um die Integrationskonstanten \(C_1\) bis \(C_4\) zu bestimmen. Das ist ein klein bisschen aufwendiger, da sich nicht aus jeder Rand- und Übergangsbedingung gleich der Wert einer Integrationskonstanten berechnen lässt. Du musst dafür die Gleichungen ineinander einsetzen.

Abschnittsweise Betrachtung mit Integration: Auswerten von zwei Rand- und zwei Übergangsbedingungen

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Damit ist das Wesentliche geschafft. Du kannst jetzt noch die vollständigen Funktionen der Schnittgrößen für die beiden Verläufe hinschreiben und die Verläufe in Diagramme einzeichnen.

Natürlich kommt dasselbe heraus, wie bei der abschnittsweisen Betrachtung ohne Integration. Vielleicht findest du den Weg mit Integration \( - \) rein mathematisch betrachtet\( - \) schon ein wenig eleganter. Bei dem hier betrachteten Weg musst du die Lagerreaktionen nicht bestimmen. Dafür musst du Rand- und Übergangsbedingungen aufstellen und auswerten.

Ich wiederhole an dieser Stelle nochmal den Hinweis: insbesondere bei Balken, die durch eine Streckenlast belastet werden, die nicht konstant ist, also z.B. linear oder quadratisch, ist das Vorgehen über die Integrationsbeziehungen deutlich übersichtlicher und schneller.

Um es aber nochmal zu betonen: Beide Wege, die Berechnung von Schnittgrößen über "Freischneiden und Aufstellen von Gleichgewichtsbedingungen" und über "Nutzen der Integrationsbeziehungen" führen zum selben Ergebnis und müssen das auch tun. Die Physik bzw. Mechanik der System ist ja immer dieselbe. Lediglich der mathematische Zugang ist ein anderer.

Arbeitsblatt - Teste dein Wissen

Olympisches Allerlei

 

Schnittgrößen bestimmen: durch Integration der Streckenlastfunktion

 

Balken mit sinusförmiger Streckenlast