Schwerpunkt

Körper mit einfacher Geometrie

Ein Hinweis vorab: ich werde im Folgenden ausschließlich mit Flächen arbeiten, um die Zusammenhänge darzustellen. Das hat rein zeichnerische Gründe. Alle Ergebnisse kannst du analog natürlich auch auf dreidimensionale Körper übertragen. Genaugenommen kannst du dir die Flächen im Folgenden als die Seiten eines dreidimensionalen Körpers vorstellen, der eine konstant Dicke in die Bildebene hinein hat. 

Flächen mit einfachen Geometrien sollen hier Flächen sein, die aus einfachen Einzelgeometrien wie Rechteck, Dreieck, Halbkreis etc. zusammengesetzt sind. Diese Teilflächen werden deshalb als 'einfach' bezeichnet, da für die Einzelflächen die Schwerpunktslagen bekannt sind. Daher lässt sich auch die Lage des Gesamtschwerpunktes sowohl zeichnerisch/rechnerisch als auch rein rechnerisch einfach bestimmen. Und genau das schauen wir uns jetzt an einem Beispiel, bei dem die Fläche aus zwei rechteckigen Einzelfächen besteht, an. Zwei jede der Rechteckflächen hat ja ihren Schwerpunkt \( S_1 \) bzw. \( S_2 \) in dem du dir ihre Masse konzentriert vorstellen kannst. Das hatten wir ja gerade schon. Der Schwerpunkt \(S\) ist derjenige Punkt, für den das Momentengleichgewicht erfüllt ist, sich die Wirkungen der beiden einzelnen Gewichtskräfte also aufheben. Wenn die Gewichtskräfte mit \( G_1 \) und \( G_2 \) und die Hebelarme (senkrechter Abstand vom Einzelschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt) mit \( \ell_1 \) und \( \ell_2 \) bezeichnet werden, dann muss also gelten: \( G_1 \cdot \ell_1 = G_2 \cdot \ell_2 \).

Bezeichnungen und Momentengleichgewicht

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Und wenn für den Abstand \( \ell \) der beiden Einzelschwerpunkte gilt \( \ell = \ell_1 + \ell_2 \) dann folgt daraus \( \ell_1=\ell- \ell_2 \) bzw. \( \ell_2 = \ell - \ell_1 \). Wenn du diese beiden Beziehungen in das Momentengleichgewicht einsetzt und umformst bekommst du folgende Beziehungen: $$ \dfrac{\ell_1}{\ell_2}=\dfrac{G_1}{G_2} \qquad \rightarrow \qquad \ell_1=\dfrac{G_2}{G_1+G_2}\ell, \qquad \ell_2=\dfrac{G_1}{G_1+G_2}\ell $$ Das Momentengleichgewicht sagt also nichts anderes aus, als dass die Verbindunglinie zwischen den Einzelschwerpunkten im umgekehrten Verhältnis der Gewichtskräfte \( G_i \) oder eben der Flächeninhalte \( A_i \) geteilt wird. Und um es ganz konrekt zu machen, findest du für verschiedenen Flächenverhältnisse Beispiele in der folgenden Abbildung.

Beispiele für unterschiedliche Flächenverhältnisse: im umgekehrten Verhältnis wird die Verbindungslinie der Einzelschwerpunkte durch den Gesamtschwerpunkt geteilt

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Die Regel mit dem Teilen der Verbindungsstrecke gilt natürlich auch, wenn die Verbindungslinie nicht horizontal angeordnet ist. Dann lässt sich das Teilungsverhältnis auch auch die horizontale und vertikale Richtung übertragen, wie es in folgendem Beispiel zu sehen ist. Mathematisch gesehen sind ähnliche Dreiecke hier eine mögliche Basis für das Verständnis.

Teilungsverhältnisse bei nicht-horizontaler Lage der Verbindungslinie

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Jetzt bleibt noch die Frage, wie wir die bisherigen Erkenntnisse verallgemeinern und systematisch in eine Formel bringen können. Das Ergebnis sieht mit den Schwerpunktskoordinaten \( x_{Si}, y_{Si}, z_{Si} \) der Teilflächen \( A_i \) so aus:

Formeln für die Berechnung der Koordinaten des Gesamtschwerpunktes

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Wie gut, dass die mathematische Schreibweise so kurz und klar ist. Ansonsten müssten wir die Formel für die \( x \)-Koordinate des Gesamtschwerpunktes so schreiben ...

Formel für die Berechnung der x-Koordinate des Gesamtschwerpunktes in Worten

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... was auch hilfreich ist, da nochmal in einer anderen Darstellung klar wird, was da physikalisch gesehen eigentlich überhalb und unterhalb des Bruchstrichs steht. 

Im folgenden Video zeige ich dir am konkreten Beispiel eines Lastenrads, das mit drei Kartons und einem Teppich beladen ist, wie du eine Schwerpunktskoordinate mit der Summenformel berechnen kannst.